Pythagoreans Figurative Numbers: The Beginning of Number Theory and Summation of Series

In this article we shall examine several different types of figurative numbers which have been studied extensively over the period of 2500 years, and currently scattered on hundreds of websites. We shall discuss their computation through simple recurrence relations, patterns and properties, and mutual relationships which have led to curious results in the field of elementary number theory. Further, for each type of figurative numbers we shall show that the addition of first finite numbers and infinite addition of their inverses often require new/strange techniques. We sincerely hope that besides experts, students and teachers of mathematics will also be benefited with this article.

关于Lucas数的无限倒数和的等式

根据Lucas数列的定义,利用初等数论的相关知识,讨论了Lucas数列的倒数的无限和以及Lucas数的平方数的倒数无限和,对其和求倒数,利用取整函数,得到有关Lucas数列的2个重要的等式.

Bernoulli数的新定义

无须利用幂级数而仅用定义或等幂和的一个递推公式直接给出Bernoulli数新的初等定义,其与经典的Bernoulli数相等。该定义的目的性明确且更加符合Jacobi Bernoulli原来的想法,即证明了 n-1(nk)Bk=0,B0=1 k=0(p+1Sp(n-1)=1p+1 pk)Bknp+1-k。

Riemann函数ζ(s)一个简捷的初等表达式

利用Jordan不等式及Kober不等式,推导出Riemann Zeta函数ζ(s)简捷的初等表达式(s为不小于2的整数),并用此表达式可求出:当s为正偶数时,ζ(s)的准确值.

关于求极限的一类问题的研究

本文通过对具体题目的分析求解,给出一类和式极限问题的解决方法,同时将所有思路与方法做出归纳与总结,并进而给予推广.

分母含有奇平方因子的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和

根据一个已知级数,利用余割函数积分,用裂项法给出分母含有平方因子的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和,并给出分母含有平方因子的二项式系数倒数级数连带3个整数乘积倒数平方和数值恒等式.

整数级数的部分和

运用初等分析技术分析了一类有限整数的和,给出了这些整数和之间的联系及常见有限整数和的公式.

关于Nicol和Zhang的一个整除性问题

对于正整数n,设φ（n）和σ（n）分别是n的Euler函数与约数和函数.本文研究了Nicol和Zhang一个整除性问题.证明了,若r,k是给定的整数,r≥0,k≥3,且2~r‖n,ω（n）=k＋1,则满足n｜φ（n）＋σ（n）的n仅有有限多个,并给出了n的个数的上界,从而推广了Luca和Sandor的结论.作为推论,对Zhang的一个公开问题进行了探讨.

一个数论定理

宣称:2≤k∈N,k∏i=1 ai,其中ai∈Z,且对1≤i≤k-1,ai+1=ai+1,并予以四种证明.