某些环的交换性条件

设Ｚ（Ｒ）是环Ｐ的中心，本文证明了下列的结果：（１）若Ｒ是一个半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ），一含有Ｘ￣２和ｎ＝ｎ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的字ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得则Ｒ是交换环；（２）若Ｒ是一个Ｂａｅｒ半单纯环，且对任意的ａ．ｂ∈Ｒ，都存在一自然数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤ι，一含有ｘ￣２和ｎ＝ｎ＇（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ的ｆ＿Ｘ（ｘ，ｙ）及一整系数多项式使得其中ι是一固定的自然数，那么，Ｒ是一个交换环。

半素环的一个交换性定理

证明了半素环Ｒ为交换的，如果它满足条件（ａｋ）：对任意ａ，ｂ∈Ｒ，存在一个字长＞Ｋ且含有（ｘｙ）＾２（或（ｙｘ）×２）的字Ｗｘ（ｘ，ｙ）及一个能被Ｗｘ（ｘ，ｙ）整除的整系数多项式ｆｘ（ｘ，ｙ），使得ａｂ＾ｋ－ｆｘ（ａ，ｂ）∈Ｚ（Ｒ），其中Ｋ是一个给定的正整数，Ｗｘ（ｘ，ｙ）与ｆｘ（ｘ，ｙ）均可随Ｘ＝（ａ，ｂ）而变，Ｚ（Ｒ）是环Ｒ的中心。

Fermat定理的几种证明

Fermal 定理是初等数论中的一个著名定理。本文给出了这一定理的几种不同的证明方法。

结合环的几个交换性条件

设Ｚ（Ｒ）为环Ｒ的中心．本文证明了满足下列条件之一的环Ｒ必为交换环：（１）Ｒ是Ｋｏｅｔｈｅ半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ，均存在一个非负整数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）及一个整系数多项式ｆｘ（ｘ．ｙ）（它的每一个单项式均含有ｓ＝ｓ（ａ，ｂ）（＞１）个ｘ和ｔ＝ｔ（，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ）使得ａｈＫ－ｆｘ（ａ，ｂ）∈Ｚ（Ｒ）；（２）Ｒ是Ｂａｅｒ半单纯环，且对任意ａ，ｂ∈Ｒ．均存在一个非负整数Ｋ＝Ｋ（ａ，ｂ）≤ｎ及一整系数多项式ｆｘ（ｘ，ｙ）（它的每一个单项式均含有ｓ＝ｓ（ａ，ｂ）（＞１）个ｘ和ｔ＝ｔ（ａ，ｂ）（≥Ｋ）个ｙ），使得ａｂＫ－ｆｘ（ａ．ｂ）∈Ｚ（Ｒ）．其中ｎ是一个固定的正整数，ｆｘ（ｘ，ｙ）可随Ｘ＝（ａ，ｂ）而变．