“四基”“四能”“三会”是理解课程标准的钥匙——关于《普通高中数学课程标准(2017年版)》的对话

陈中峰：本次《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称＂高中课标2017年版＂）修订的背景是什么？内容上主要作了哪些修订？其出发点是什么？王长平：按照惯例,课程标准每10年左右需要进行修订,以适应数学教育发展的需要。2003年制订的《普通高中数学课程标准（实验）》（以下统称＂高中课标实验版＂）已使用15年,有必要进行整体修订。

小学数学课程必须坚持“混而不错”的原则——以“平行与垂直”的教材编排为例

小学数学教材既要根植于儿童的生活直观感知,又要言之有据,形成循序渐进、互相连接的逻辑框架。这是很不容易做到的。我国数学前辈苏步青先生认为,中小学数学教材编写要坚持＂混而不错＂的原则,从而保持一定的逻辑严谨性。但是,从A版和B版教材（分别由国内两个出版社出版）中＂平行与垂直＂单元的处理来看,在这方面都有许多值得商榷的地方。以＂平行＂概念为例,B版教材中概念的叙述逻辑性有待加强。

数学概念教学要融入中华文化,推陈出新——谈小学数学里“方程”概念的表述

我国的小学数学教科书,在＂简易方程＂单元的开头,大都醒目地写着＂含有未知数的等式,称为方程＂。＂方程＂二字用红色大字标出,意即这是方程的定义。紧接着便是一组＂做一做＂,问哪些式子是方程：35＋65＋100 x-14＆gt;72x÷24 5x＋32=4728＆lt;15＋14 6（a＋2）=42这样的编排,看上去似乎逻辑严谨,便于操作,因而代代沿袭,成了学校数学里雷打不动的经典。

小学数学如何实现从直观到抽象的飞跃——谈教材里关于“图形的运动”的处理

本世纪初进行的课程改革,把＂图形的运动＂列入小学教材,这是一个意义深远的决策。但是,各种教材的编写者在展现这一内容时,对其内在的数学本质揭示得不甚确切,表现形式也有些含混。我们首先要问,为什么在小学里要将平面图形的运动列入课程标准呢？《数学课程标准（2011）》没有明确说明。大体说来,应是为了达到以下目的：

教材处理宜朴素自然、平易近人——关于小学数学教材里“角的认识”

角,是数学名词,更是普通名词。因此大家都对角有一个先入为主的来自现实生活的理解。羊角,牛角,书的四角,五角星的五个角,无人不知无人不晓。至于数学中,除＂垂直＂之外,中国古代数学里几乎没有涉及角。于是,当今小学数学里角的概念,是从国外全盘引进的。然而,国外对于角的认识和处理也有不同的认识。我们应该根据自己的教学实践加以消化、整合,形成自己的认识。

请多多关注小学数学教材的科学性

从2013年开始,我就现行小学数学教材给出了一些评论与建议,有30多篇文章,陆续发表在《小学教学（数学版）》和《教学月刊》上。本打算继续写下去,但由于健康原因不得不暂停下来。收手之际,有一个个人的期盼,那就是请小学数学教材的编著者,广大的教研员、教师、读者,甚至包括课程标准的起草与制定者,大家来多多关注小学数学的科学性问题。科学性是任何一本教材的生命线,小学数学也不例外。

更多地关注数学本质与细节处理——以圆的定义为例

一位老师在课堂上问道：“什么是圆啊？”学生回答：“篮球是圆的!”“月亮是圆的!”这很出乎老师的预料.圆是一维的曲线,篮球和月亮都是球体,因而不是圆.可是篮球不是圆的,难道是方的吗？显然,数学语言和日常生活用语之间发生了冲突.

适合儿童年龄特征和避免数学差错——关于“找规律”及其他

小学数学的一个重要特点，在于使严谨的数学内涵与儿童的年龄特点相适应。过分地追求严格，会超越儿童的认知水平，造成教学上的困难。因此寻找一种合适的表达方法是非常重要的。数学家苏步青先生有一句名言：中小学教材不可能做到完全严谨，但要“混而不错”。

教材编写要注意防止片面的思维定式——评小学数学教材中忽视“包含除”的倾向

除法和分数教学,最常用的情境是“平均分物”。例如,将一些饼干平均分给小朋友。这一数学模型,涉及两种除法,俗称“等分除”和“包含除”。但是,我国的除法教学和教材编写,都畸形地偏向等分除,以致形成了片面的思维定式,这对于培养学生分析问题和解决问题的能力非常不利。

数学概念之间需要融会贯通——评“图形与几何”中一些概念的表述

21世纪以来的中国小学数学,几何的分量有所增加。目前各版本教材涉及的内容有：●直观几何。包括认识图形这样比较传统的内容。●度量几何。线段的长度,角度,面积,体积。●坐标几何。数直线,位置,方向。●演绎几何。平行与垂直,三角形内角和。●运动几何。平移,旋转,轴对称。这样一来,小学数学的几何内容已经相当宽泛,给人以＂麻雀虽小,五脏俱全＂的感觉。但是,这些概念如何有机地联接在一起,使得彼此融会贯通呢？我们似乎做得还不够。

把数学思想方法适当地说出来——从“文字代表数”的意义说到方程的本质

现在提倡数学＂四基＂教学,数学基本思想方法是其中的一部分。为了使少年儿童更好地受到数学思想方法的熏陶,教材编写者需要做出不懈的努力。在这方面,我们需要改进的地方不少。以下就＂文字代表数＂和方程的关联做一些分析。

多多注意数学本质的揭示——剖析“用温度计引入负数”的优缺点

由于简易方程进入小学数学,＂认识负数＂也就自然地成为小学数学的组成部分。受多年来初中数学教材的影响,现在的小学数学教材几乎都用温度计作为载体,即以零下几度来引入负数。这样做,似乎已成不可替代的经典。本文试图对此做一些更细致的分析,探究这样做的优点和缺陷,并给出引出负数的其他途径。

削枝强干,消除平庸——谈小学《数学》教科书中“测量”的编排

近日阅读了A版和B版二年级上册《数学》教科书中的＂测量＂单元,觉得教材的处理需要更好地体现数学的本质,不要把时间花在一些平庸的活动上。先看B版教材＂测量＂单元的第一页（如图1）。标题是＂教室有多长＂（准确地说是＂教室地面的一边有多长＂）。教材要求学生用尺子、书、脚印或自己喜欢的测量工具获得测量的结果。笔者觉得,

浅而不错、分而不碎,着眼于数学素质的养成——以“维度”概念为例

小学数学教材的编写必须依据儿童的年龄特征,实行量力性原则。这就是说,要尽量取材于该年龄段儿童的生活实际,注重直观,诉诸感性,由浅入深,分散难点。但是,我们又必须坚持浅而不错、分而不碎,着眼于数学素质的养成。相应的教材设计,则要避免零敲碎打、随意编排,忽视教学内容的整体性与系统性。近来,翻阅一些小学数学教科书中有关几何知识的编排,就觉得有些支离破碎,缺乏系统设计。尤其是对空间、平面、线段的区分,立体图形和平面图形之间的关联有许多疏漏，甚至出现错误。

分数相等性质的数学内涵——兼及角的定义

分数有一个与自然数截然不同的特点：表示形式不再唯一。同一个分数可以有无限多种表示形式。对此．我国的小学数学教材一向称之为“分数的基本性质”。我们是不是可以直接称之为“分数的相等性质”呢？这一性质的数学内涵又是什么呢？下面我们来做一点儿探讨。

数学要源于生活,但要高于生活——以小学六年级“位置”一节为例

用有序的数对描述平面物体的位置,是21世纪数学课程改革新增的内容。按照《课标（2011）》的要求,其教学目标主要不在于用“数对”找位置,而是要为日后的平面直角坐标系提供直观的认识。但是,当前的一些教科书偏离了这一目标。许多教科书和教学设计都停留在寻找第几排、第几座的位置之类的生活常识上,局限于用“有序数对”确定位置的操作层面。

正本清源 力求准确——关于数学教材中“分类”单元的评论

由于统计数据的需要，如今的小学数学从一年级开始就有“分类”的单元。其教学目标是要求学生能将一组对象按照某种标准不重不漏地划分为若干个类别。 值得关注的是，关于分类的内容，在九年义务教育教材中仅出现这一次，以后再也不见讨论了。那么。数学中的分类是不是仅仅按照“不重不漏”的标准去分就行了呢？如何全面把握科学的分类方法呢？本文拟对此做一分析，并提出一些教材编写建议。

“分数”教学中需要澄清的几个数学问题

张奠宙先生作为著名数学教育家、《普通高中数学课程标准（实验稿）》研制组组长，也十分关注小学数学教育教学的改革与发展，对我刊是“每期都要看，因为其中的许多文章清新活泼，充满着来自课堂第一线的生机，同时也针对一些问题进行思维碰撞”（摘自本刊2008年第4期《一点商榷和补充》一文）。同时，他多次对杂志中的文章所反映出来的思想观念、教育教学方法以及涉及数学本质的概念的定义等给予必要而及时的评点和指导，使我们受益匪浅。虽然他认为自己“是一名大学数学教师，对小学数学教学知之甚少”，但是张先生提出的观点和思路，非常值得我们这些“当局者”认真思考和借鉴。另外，张先生也希望大家：“（对于小学数学中有关概念的定义等）如果以前已经深思熟虑地考虑过，不能改也就算了：如果没有考虑过，只是‘照例办事’。那么请大家多考虑考虑。”

深入浅出,平易近人——怎样测量长度、面积和体积

长度、面积和体积是最基本的度量几何学概念。这三者除了图形的维度不同,作为一种测量过程其本质是一样的。不过,目前的小学数学教科书中,并没有给予统一的处理。测量,不仅仅是拿刻度尺去量测一条线段的长短(那属于物理学范围),数学测量的本质是给每一条线段以合适的数。在这样的视角下,可以说,长度、面积、体积测量的数学意义很遗憾地在中小学教科书里被淹没了。那么,怎样深入理解数学本质,平易近人地浅近展示呢?让我们从长度概念说起。小学数学教科书通常在二年级就有"长度单位"一节。

与时俱进,推陈出新——谈分数定义的修改

长期以来,我国对分数的定义,都是基于对一个整体平均分之后的份数.《辞海》中说：“把单位‘1’平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数叫作分数.”分数的这一“份数定义”,直接从英文的fraction一词的意义翻译过来.fraction兼有“片断”和“分数”的双重意思,把二者混同起来,是英文的缺陷.我们全盘移植,未必妥当.