抓住图形结构 探寻求解策略——一道全国初中数学联赛试题的解法探究

一、试题呈现 试题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC=90°,AB=AC√5,CD=1,对角线的交点为M,则DM=（ ）.

追寻本质解法 变式演绎精彩——一道竞赛题的解法及变式探究

一、试题呈现 题目 （2011年北京市初二数学竞赛试题）如图1，边长为1的正方形EFGH在边长为3的正方形ABCD所在的平面上移动，始终保持EF/AB。线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（ ）。

关注基本模型 彰显问题本源——勾股定理“总统证法”的几何模型在解竞赛题中的应用

一、模型呈现 1876年,美国第20任总统伽菲尔德（James Abram Garfield）利用两个相同的直角三角形验证了勾股定理.1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年,伽菲尔德就任美国第20任总统,后来人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统证法。

对一道与正方形有关的竞赛试题的变式探究

一、试题及解答 试题（2015年福建省初中数学竞赛试题）如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E、F分别在边BC、CD上,且∠EAF=45°,则△CEF的周长为____.

突破形变干扰,构建基本模型——2017年浙江省杭州市中考数学第10题的解法、变式探究及改进

一、试题呈现试题:(2017年浙江省杭州市中考数学第10题)如图1,在△ABC中,AB=AC,BC=12,E为AC边的中点,线段BE的垂直平分线交边BC于点D,设BD=x,tan∠ACB=y,则().A.x-y2=3 B.2x-y2=9 C.3x-y2=15 D.4x-y2=21试题评析:本题以学生非常熟悉的等腰三角形和线段的垂直平分线为基本图形,主要考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形的边角关系、相似三角形的判定与性质或三角形中位线的性质等知识点,是《义教育教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课程标准》)规定的最基础最核心的内容之一.本题图形简洁明了,将几何与代数融为一体,蕴含重要的数学思想方法。

关注倍角模型,破解中考压轴题——等腰三角形中的两个倍角关系模型在解题中的应用

一、模型呈现如图1,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,∠BAE是顶角∠BAC的外角,则:(1)∠BAC=2∠DBC,即等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半;(2)∠BAE=2∠ABC=2∠ACB,即等腰三角形顶角的外角等于一个底角的两倍.证明:(1)如图2,过点A作AF⊥BC,垂足为F,则∠FAC+∠ACB=90°.由等腰三角形"三线合一"的性质,可知AF平分∠BAC。

认识问题本质,追求自然解法——一道“希望杯”全国初中数学邀请赛试题的解法及变式探究

《中学数学》（下）2016年第7期刊登了李玉荣老师的《自然解法“无果”,另辟蹊径“有门”》一文,讨论了第24届“希望杯”全国初中数学邀请赛初二第2试第22题的解法,读后受益匪浅.文中呈现了命题组给出的两种参考答案,这两种解法都是利用勾股定理列方程（组）求解,一是列出了二元二次方程组,二是列出了无理方程,正如李老师所说,这两种解法的难点显然是所列方程（组）超越了学生的能力范畴,学生难以求解.

平面直角坐标系中三角形面积的求解策略

在近几年全国各地中考试题中，经常出现与平面直角坐标系中三角形面积有关的问题，这类试题大多与一次函数、二次函数及反比例函数的图像相结合，形式灵活多样，具有一定的综合性．笔者结合2012年全国各地中考试题，归纳出平面直角坐标系中三角形面积的几种求解策略，与同行分享．

以“共顶正方形”为模型的中考试题及变式探究

一、基本模型例1 （2008年广东省初中数学竞赛）如图1,正方形ABCD的边长为2,点E在边AB上.四边形EFGB也是正方形,设△AFC的面积为.S,则（）.A.S=2 B.S=2.4C.S=4 D.S与BE的长度有关解析：设正方形BEFG的边长为a,则AE=2-a,CG=2＋a.S=S△ABC＋S正方形BEFG＋S △AEF-S △CGF=1/2×2×2＋a2＋1/2a（2-a）-1/2a（2＋a）=2＋a2＋a-1/2a2-a-1/2a2=2.点评：本题以两个具有一个公共顶点的正方形为基本模型,主要考查了正方形的性质、三角形面积的求法等知识.

以勾股图为模型的中考试题及其变式探究

勾股定理是刻画直角三角形三边关系的一条重要定理，它的发现、验证和应用蕴含着丰富的文化价值．验证勾股定理的方法非常多，最常用的方法之一就是利用如图1所示的勾股图．在近几年的中考中，以勾股图为模型编拟的中考试题屡见不鲜．笔者从近几年的中考试题中选取了一些以勾股图为模型编拟的中考试题，并对这些试题进行变式探究，得到一系列有趣的数学问题，供读者参考．

与反比例函数图像有关的图形面积问题的求解策略

近几年各地中考中有不少试题涉及到了与反比例甬数图像有关的图形面积问题，从形式上看，这类问题涉及的图形变化多端，精彩纷呈；从考查的知识点上看，这类问题通常将反比例函数、相似三角形、图形变换等知识融合在一起，具有一定的综合性；从解法上看，这类问题涉及的知识点比较多，它的解法具有很强的灵活性．因此要正确解决这类问题，除了要熟练掌握反比例函数的性质外，还要掌握三角形、四边形等其他图形的相关性质．本文以近几年中考试题为例，从不同图形人手，归纳出这类问题的求解策略，供读者参考．

数学文化:情感教育与考试功能有效结合的载体——以“数学文化”为背景的中考试题赏析

一、前言 《义务教育数学课程标准》（2011年版）在“实施建议”部分指出：“数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中．为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用，以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，

关注核心知识 重视基本方法——2013年宁夏中考数学试题评析

2013年宁夏中考数学试题以《义务教育数学课程标准》为依据，关注核心知识，重视基本方法，全面考查了学生的数学学习能力与基本数学素养，使具有不同认知特点、不同数学发展程度的学生都能表现自己的数学学习状况．与历年试题相比，今年中考数学试题稳中有变，即试题的形式相对比较稳定，进一步加大了应用能力的考查力度，特别是与生活紧密联系的应用问题具有较大的创新性和探索性．为了使中考试题能更好地在今后的教学中发挥其导向功能，现对2013年宁夏中考数学试题进行简要评析，供读者参考．

双曲线的若干优美性质及其应用

当双曲线y=k/x与矩形、等边三角形、直角三角形等几何图形的边相交时，图形中蕴含着双曲线的若干优美性质：双曲线截出的一些线段之间存在着特定的比例关系，一些三角形或四边形的面积可以利用比例系数南与线段之间的比值t来表示．通过对这些数量关系的探索，不仅有利用于进一步认识反比例函数的性质，而且能够为这类问题的解决提供最基本的思路与方法．

初中数学竞赛中不定方程的整数解问题

初中数学竞赛中不定方程的整数解问题，不但涉及到方程的相关知识，还涉及到数论中的相关知识（如整除、奇数、偶数、质数、合数等），是近年各级各类数学竞赛的热点问题．解决此类问题的方法灵活性较大，技巧性较强，对初中学生而言有一定的难度．本文以近几年各类竞赛试题为例，介绍此类问题的常见解法，供读者参考．

解析法:命制几何试题的一种有效方法——以2014年北京市一道中考试题为例

一、试题及解答 试题（2014年北京市）如图1，在平行四边形ABCD中，4E平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF相交于点P，连接EF、PD．

关注“直L型”图形模型 重视通法的解题功能

一、基本模型的提炼 例1（2009年深圳）如图1，矩形ABCD中，由8个面积均为1的小正方形组成L型模板按图1所示放置，则矩形ABCD的周长为——。

轴对称搭台,相似三角形唱戏——浅谈一道联考试题的分析过程及对讲评设计的两点思考

一、前言 《中学数学》（下）2014年第8期刊载了王四宝老师的文章《一道联考试题的分析过程与讲评设计》（下称文1），王老师对2013年浙江省绍兴市中考试题中的一道填空题进行了深度解读，并以此题为数学活动素材，设计了两个有趣的探究活动，不仅对本题的解答过程分析的一清二楚，而且对本题也做了拓展性的研究．从文1可以看出，王老师通过添加四条辅助线，利用轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理、证明“三点共线”的方法、面积法等知识与方法给出了本题的分析过程．这里有两点值得大家思考，一是文中添加的辅助线和所运用的知识点之多，着实令人望而生畏．二是根据王老师所添加的辅助线和试题分析过程，解答之前必须证明三点共线，这对学生而言又是一个难点．笔者认为，不用添加辅助线，不用证明三点共线，只需利用轴对称的性质、相似三角形、勾股定理即可破解此题．

对“有增根”类分式方程改进命题解法的质疑——兼与罗峻老师商榷

《中学数学》（初中版）2013年第5期刊登了罗峻老师的文章《中考题也会出错——对“有增根”类中考试题的讨论》（下称文1），笔者拜读后受益匪浅，被罗峻老师严谨的治学精神和对数学问题敢于质疑的精神所感动．

巧借对称妙解题 化难为易出神奇——解析2010年北京市中考数学压轴题

1试题再现 （2010年北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．请你完成下列探究过程：