新弗雷格主义对涵义的认知解释

对弗雷格式涵义的描述主义解释传统受到了克里普克和直接指称论者的深入批评。新弗雷格主义者坚持涵义的不可或缺性而建议放弃描述主义。新弗雷格主义者对弗雷格式涵义的实质内容的阐发可以解读成三种进路:一是把涵义解释成从物的思考方式或心理呈现模式;二是把涵义解释成证实性知识或作为证据的概念;三是把涵义解释成动态的信息体或文件系统。这三种理解都强调了弗雷格式涵义的认知功能,从而显示出涵义概念的语义解释和认知解释之间的紧张,以及涵义概念的内在不融贯性。二维语义学承接新弗雷格主义的立场把弗雷格式涵义拆分成认知内涵和真值条件内涵两个维度,涵义的认知层面是弗雷格式涵义的主要特征。

儒学经典中的数学知识初探——以贾公彦对《周礼·考工记》“■氏为量”的注疏为例

通过分析唐代学者贾公彦对《周礼·考工记》"■氏为量"的注疏,揭示出其数学知识与以《九章筭术》为代表的传统数学不尽相同。其不同之处体现在贾氏算法的结构、对数和图形的认识、推理的方式以及对于算筹的运用等方面。由于这些特色在贾氏其他注疏以及初唐诸儒编订的《五经正义》中亦有体现,说明其具有一般性。此外,与贾公彦一同注释儒学经典的王真儒,稍后也与李淳风等一同注释了十部算经,这一事实揭示了儒学与数学关系的复杂性。对于儒学经典中的数学知识,有必要进一步深入系统研究。

初唐的数学与礼学——以诸家对《礼记·投壶》的注疏为例

传世文献中有两条线索刻画了中国古代礼与数学的密切关系:一条线索是《周礼》所述"六艺"之一为"九数"(即数学),由此被后世学者逐渐扩展为数学是礼学或儒学的一部分;另一条线索是《左传》所云"王命诸侯,名位不同,礼亦异数",由此被理解为礼数与政治等级相关,并进而以数学安排之。从孔颖达与甄鸾、李淳风等对《礼记·投壶》的注疏看,两方对同一经文及郑玄注运用了不尽相同的数理解释。具体来说,有计算方式与结果、注疏体例与目的等方面的不同;尤其是前者通过书写计算,而后者使用算筹。基于其他文献中也有类似的情形,两方的差异具有一般性。因此,《周礼》所述更多反映了周代数学与礼学的关系,而后世的发展导致算经数学与儒经数学各自逐渐成为相对独立的体系,并且后者与礼学的关系更为密切;《左传》所云侧重关于政治等级的礼数,而未述其关于礼器尺寸的一面。汉代以降,投壶由礼仪向游戏渐变,出土实物与传世绘画印证了其形制的变化;诸家对相关经文的解释就逐渐偏离了实际,而转为相对纯粹的文本学术探讨。在初唐恢复古礼、注疏儒家、算家经典的历史背景下,数学与礼学的关系实际处于文本与现实的多重张力之中。

秦九韶对大衍术的筭图表达——基于《数书九章》赵琦美钞本(1616)的分析

秦九韶的《数书九章》(1247)是中国数学史上的名篇,其所载的大衍总数术是一项世界级成就。然而,以往的数学史研究并未从文本表达形式的角度分析秦氏大衍术。从对最接近秦书足本的赵琦美钞本(1616)的分析看,秦氏对大衍术的表达运用了文字、筹码、筭图、连线等多种文本形式。一方面,秦氏著书的部分原因是为了参与宋廷改历。另一方面,秦氏认为数术分成内算与外算两部分,与历算、《周易》相关的大衍总数术属于内算,其核心算法大衍求一术则与传统方程术不同,应独立为一项数学内容。因此,依据"其用相通,不可歧二"的原则,秦氏有理由公开揭示大衍术。而且,由于筭图能够呈现算法的全部筹算过程,故而成为秦氏表达原先"算而不书"的大衍术的最佳工具。总之,通过分析秦九韶的著书动机、天文历算与传统数学的差异、筭图与连线的功能,我们可以全面理解秦氏记述大衍术的历史事实。

明清之际的数学、儒学与西学——以黄宗羲的数学实作为中心

明末西方数学的传入是中国数学史研究的重要议题.过去学术界从中西数学会通的角度探究中国学者对西方数学的反应与接受程度.但从近年来的一系列研究看,儒家算法传统的角色与作用未获得充分研究,因之明清之际数学、儒学与西学之间的关系还有待进一步研究.事实上,数学与儒学关系的历史演进十分复杂,宋代大儒朱熹(1130-1200)接纳和排斥数学的两种看法在明代影响深远.通过分析黄宗羲(1610-1695)的相关著述可见: 他引传统算学入原先属于儒家算法传统部分的经学研究,并将西方三角学纳入传统算学之勾股类.这折射出黄氏认识与理解的数学、儒学与西学之关系.因此,明清之际学者对待西学的不同态度与做法,实际可能与其所持之传统算学与儒学的关系相关.

再论数学史与数学哲学的关系

学术界往往从学理上谈论数学史与数学哲学的密切关联,而较少从研究层面论证两者之实际关系。从研究实践看,数学哲学研究大致有自上而下论述并辩护数学哲学理论与自下而上举例分析数学哲学问题两种范式,数学史研究则经历了由辉格史到反辉格史的范式转变。由于研究范式的自然本性,数学哲学问题范式与反辉格数学史具有天然的亲缘关系。数学史与数学哲学的实作转向之后,两者都以数学实作为研究对象,从而关系更为紧密。因此,历史上数学的发展与当时某种哲学思想的关联是原初意义上数学史与数学哲学的关系;19世纪后半叶开展现代数学史与数学哲学研究以来,两者存在着变动的关系--共同研究数学实作则使得两者的关系比以往任何时候都要密切。

史料与方法:中国数学史研究的新思考

自李俨、钱宝琮始,国内外学者开始用现代数学方法整理古代数学遗产,并建立了中国数学史学科的研究范式。20世纪80年代起,吴文俊倡导对于中国古代数学的“古证复原”,提出了数学史研究“古为今用”的目标。今天的中国数学史研究正向广度与深度两方面拓展。从数学史研究的方法论来看,存在三个互相关联并需要反思的理论议题。第一,辉格解释问题,其实质在于探究现代数学对古代数学的解释限度;第二,史料问题,其目的在于探讨古代数学实作传统的多样性;第三,古为今用问题,它与前两个议题及数学史的学科定位有关。数学史的研究实践正通过独有的方式探讨上述议题,因此长期存在于研究中的内史与外史之争论是没有必要的。

再论中国古代数学与儒学的关系——以六至七世纪学者对于礼数的不同注疏为例

本文通过分析贾公彦、孔颖达、甄鸾、李淳风等对于《仪礼·丧服》"去五分一以为带"的注疏、注释,揭示出诸家对于礼数的数理解释不尽相同。具体来说:一、贾、孔等遵循注疏儒家经典的做法,把数学知识作为儒经的一部分,他们对于礼数的理解是依据汉字结构,其算法实施不需要筹算;二、甄、李等则重新组织儒家经典以适应当时数学著作的体例,他们从数学的角度去理解礼数,其算法有一个筹算过程。从历史语境来看,这发生在甄鸾扩展数学应用范围,以及唐代政府注疏儒经和注释算经活动的背景下。本文认为我们需要拓展中国古代数学的内涵。在此基础上,数学与儒学的关系并非一成不变:据《周礼》所载,周代九数是周礼的一部分;之后,九数发展为以《九章筭术》为代表的相对独立于儒学的数学体系;另一方面,至唐代,学者们通过注疏儒经也发展出相对独立的数学体系。因此,诸家对于礼数的不同注解反映出:儒经数学是儒学天然的一部分,算经数学则是相对独立于儒学的知识体系,尽管甄鸾、李淳风等通过《五经筭术》试图重建数学与儒学的紧密联系。

宋代的数学与易学——以《数书九章》“蓍卦发微”为中心

数学与易学在宋代都进入了发展的新时期,学术界对两者关系已有深厚之研究,而秦九韶《数书九章》是各家研究此议题的重要文献。在秦书明钞本的基础上,本文重新分析是书首问"蓍卦发微"的结构,揭示出:秦氏通过创造数学问题将大衍之数与筮法纳入统一的数学解释,从而建构了大衍总数术与《周易》之紧密联系。本文进而通过考察邵雍与朱熹之解释,表明两家分开理解大衍之数与筮法,而朱熹对筮法的注解更注重蓍草实作。由于历代儒家对《周易》筮法之注解没有创造出提供数学发展之文本语境,导致朱熹对此之探讨与儒家之算学传统关系不大,并在晚年将数学纳入其礼学体系。但是,由于筮法与筹算实作有相似性、《周易》与数术亦有关联,使得宋代国家从制度化层面将天文、三式、历算与传统算学一道纳入国子监算学馆。在此背景之下,秦九韶建立了包含内算与外算的数术体系。魏景元四年(263)刘徽注《九章算术》所论算学与《周易》之关系可视为关于数学起源的一种理想化论述,宋代数学与易学的关系则主要体现为不同知识门类间的合并与重组,并在这一过程中扩大了传统算学的应用领域。

儒家开方算法之演进——以诸家对《论语》“道千乘之国”的注疏为中心

中国传统数学源远流长,筹算开方术是其中重要的成就之一。不过,以往学术界较少关注儒家的算法传统。在两汉经学争论的背景之下,汉儒包咸、马融等对《论语》"道千乘之国"的注解隐含了一个数学问题,且未述算法。梁代皇侃《论语义疏》以切割图形进行开方,与筹算方法不同,是为儒家开方算法之兴起。之后,唐代孔颖达、贾公彦,宋代邢昺、朱熹,元代许谦,清代刘宝楠等学者继续在儒学研究中探讨发展儒家开方算法。北周甄鸾《五经筭术》以筹算开方术解"道千乘之国",唐代李淳风等注释《五经筭术》并立于学官,试图统一算法,未获成功。清中叶戴震整理古算书,给予《五经筭术》以正面评价。晚清以降,数学的专业性与独立性获得了前所未有的认可。因之,算家对"道千乘之国"的解释逐渐被接受,而儒家的算法传统则逐渐被遗忘。

从宋代文献看数的表达、用法与本质

"什么是数"是一个重要的哲学议题,数学哲学与数学史的实作转向使得从历史的角度解答该议题成为可能。宋代是中国传统数学的高峰,学科间的兼并与重组导致了数学内容的扩大和数的多种分类,并在数的表达与其所运用的领域间形成对应。故南宋杨辉用多种方式表达数在运算中的不同位置和功能,反映出运算位置也被认为与数的本质相关。因此,探究"什么是数"不应局限于印度-阿拉伯数码,应将该议题作为一个开放的研究纲领,会产生更有力的科学史研究实践。

河图洛书与中国传统数学的历史关联——以方中通《数度衍》为中心

河图洛书不仅是中国古代易学研究的重要内容,同时也与中国传统数学有密切的关联。宋代图书之学兴起,与隶首作数、周公制礼、张苍定章程等经典故事一道,河图洛书生数进入中国数学起源的叙事系统;同时,由河图洛书衍生而来的纵横图成为古代数学著作的一部分。元中叶以降,朱子理学被定于一尊,河图洛书黑白点图取得了在中国传统数学体系中的固定位置。明清之际,秉承家学的方中通著《数度衍》,发明“勾股出于河图”“加减乘除出于洛书”两说,由此把数学的基础建立在河图洛书黑白点图之上,并重新调整了中西数学体系的结构,开启了河洛之学在算学领域内的新发展。康熙年间,清廷编撰《数理精蕴》《周易折中》,两书都认为“加减出于河图,乘除出于洛书”。清中叶,江永撰《河洛精蕴》亦用勾股解河图洛书。由此来看,《数度衍》对数学和易学的影响值得进一步研究。

关于数学史的三大误解

国内学术界普遍存在关于数学史的三大误解:历史上有三次数学危机、数系的扩张代表着数学的进步、现代数学是西方数学。这些误解均默认了累积进步与西方中心主义的数学史观,抹杀了包括中国数学在内的非西方数学文明对现代数学的贡献。因此,我们应该采取数学史是诸文明接力的立场,揭示各文明在历史不同阶段对数学发展的贡献,由此凸显人类是一个命运共同体。从理论上看,对三大误解的澄清有助于推进数学哲学与李约瑟问题之研究。