在学习过程中,我们遇到求形如（1+2x+3x<sup>2</sup>）<sup>5</sup>的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C<sub>n+1</sub><sup>m</sup>=C<sub>n&l...在学习过程中,我们遇到求形如（1+2x+3x<sup>2</sup>）<sup>5</sup>的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C<sub>n+1</sub><sup>m</sup>=C<sub>n</sub><sup>m-1</sup>+C<sub>n</sub><sup>m</sup>及二项式定理证明了这一命题。命题:（sum from i=1 to m a<sub>i</sub>）<sup>n</sup>（n≥1,m≥1）的展开项数为C<sub>m+n-1</sub><sup>n</sup>项。证明:我们对自然数m用数学归纳法。①、当m=1、2时,对一切自然数n命题显然成立。②、假设m=k时,对一切自然数n命题成立。当m=k+1时, 据归纳假设,上式右端展开后,其项数分别为:C<sub>k</sub><sup>0</sup>项,C<sub>k</sub><sup>1</sup>项,C<sub>k+1</sub><sup>2</sup>项,C<sub>k+2</sub><sup>3</sup>项,…,C<sub>k+n-1</sub><sup>n</sup>项。又由于上式右端a<sub>k+1</sub>的方次不同,它们之间不可能再合并同类项。故有 （sum from i=1 to k+1 a<sub>i</sub>）<sup>n</sup>展开项数=C<sub>k</sub><sup>0</sup>+C<sub>k</sub><sup>1</sup>+C<sub>k+1</sub><sup>2</sup>+C<sub>k+2</sub><sup>3</sup>展开更多
文摘在学习过程中,我们遇到求形如（1+2x+3x<sup>2</sup>）<sup>5</sup>的展开的项数问题,通过分析,我们猜测如下命题。我用已学过的组合性质C<sub>n+1</sub><sup>m</sup>=C<sub>n</sub><sup>m-1</sup>+C<sub>n</sub><sup>m</sup>及二项式定理证明了这一命题。命题:（sum from i=1 to m a<sub>i</sub>）<sup>n</sup>（n≥1,m≥1）的展开项数为C<sub>m+n-1</sub><sup>n</sup>项。证明:我们对自然数m用数学归纳法。①、当m=1、2时,对一切自然数n命题显然成立。②、假设m=k时,对一切自然数n命题成立。当m=k+1时, 据归纳假设,上式右端展开后,其项数分别为:C<sub>k</sub><sup>0</sup>项,C<sub>k</sub><sup>1</sup>项,C<sub>k+1</sub><sup>2</sup>项,C<sub>k+2</sub><sup>3</sup>项,…,C<sub>k+n-1</sub><sup>n</sup>项。又由于上式右端a<sub>k+1</sub>的方次不同,它们之间不可能再合并同类项。故有 （sum from i=1 to k+1 a<sub>i</sub>）<sup>n</sup>展开项数=C<sub>k</sub><sup>0</sup>+C<sub>k</sub><sup>1</sup>+C<sub>k+1</sub><sup>2</sup>+C<sub>k+2</sub><sup>3</sup>
