分组数列问题的解法及其应用

在国内外数学竞赛试题中,常活跃着一类分组数列问题。它的解法独特,构思巧妙,本文将以近年来国内的一些竞赛题为例,浅谈其解法及应用。一、分组数列问题的特殊解法 1.抓住分组数列的首项或末项例1(1991年全国高中数学联赛题)将正奇数集合{1,3,5,…}由小到大按第n组有2n-1个奇数进行分组: {1},{3,5,7},

利用对称性 得到最优解

有些数学问题,隐含着某种对称性,一旦挖掘出来,问题便奇迹般的迎刃而解了。例1.(1986年上海高考题)用1,2,3,4四个数字组成无重复数字的四位奇数的个数是____。解:∵奇、偶数字个数相等,∴组成奇。

高考试题中的优化讨论例说

近年来,分类讨论的试题常活跃在高考中,它不仅考查考生对双基知识的掌握,而且是考查考生思维能力的好题.这类试题几乎都是由解题的途径不同而引起的讨论.因此,只要选择合适的方法、公式、性质等,便可避免或优化讨论。

平面截多面体所成体积问题探微

多面体被一平面分成两部分,求其体积之比,是立几中一类难度较大的问题。它涉及知识面广,综合性强,其解法与所用技巧都较灵活。解这类问题的核心是:一方面要会画出示意图;另一方面要善于转化。本文拟从两个方面浅谈转化的途径。

对任意实数恒成立的不等式中 求参数值的方法和技巧

含参数的不等式中常常出现对任意实数恒成立,求此参数之值。这类题涉及知识面广,技巧较高,学生解题颇感棘手,下面略谈几种常用方法和技巧。一判别式法例1 若f(x)=x^2+(2+1ga)x+1gb,且f(-1)=-2,又对任x∈R,f(x)≥2x恒成立。求a+b(1990年北京市高一数学竞赛复赛试题)。

构造组合式求数列的和

一类有关自然数的求和问题,若能将通项变形成组合数,构造出组合恒等式: Cn-1m+Cn-2m+Cn-3m+…+Cn+1m+Cmm=Cnm+1（高中代数第三册第81页18（2）题）。用其求和,则非常简捷。例1 求和 1×（3×1+1）+2×（3×2+1）+…+n（3n+1）。

一类求值题的构造法

我们先证明一个结论,然后用它构造一类求值题非常简捷。 [例1] 求证multiply from k=1 to n cos（kπ/（2n+1））=1/2n（n∈N）。证:∵方程x2n+1

一道例题的疏误

本刊91年第1期《三角函数式的恒等变换与应用》一文的一例及其解答如下: 例12 已知(tg(α+β-γ))/(tg(α-β+γ))=tgγ/tgβ,求证sin2α+sin2β+sin2γ=0 证明:把已知化为 (sin(α+β-γ)cos(α+β-γ))/(cos(α+β-γ)sin(α+β-γ))=sinγcosβ/cosγsinβ由合分比定理,化简得 (sin2α)/(sin2(β-γ))=(sin(γ+β))/(sin(γ-β))

反三角方程几何解法两例

例1 解方程 arcsec|(x^2+1)/(x^2-1)|+arc csc|(x^2+1)/2x| +arcctg|(x^2-1)/2x|=π解:∵ |2x|~2+|x^2-1|~2=(x^2+1)~2 构造Rt△ABC(图1) 令a=arc csc|(x^2+1)/2x|,则 arcsec|(x^2+1)/(x^2-1)|=a, arcsec|(x^2+1)/(x^2-1)|=a, arcctg|(x^2-)/2x|=a, a+a+a=π,

确定三角形个数的常用方法

在数学竞赛试题中,常活跃着求满足条件的三角形个数问题,尤其初中赛题中出现的频率最高,这类问题主要运用三角形三边关系及其他有关知识求解。例1 (1991年第二届“希望杯”初二试题)若x,y都是自然数,则以x、y,10为边的三角形的个数为( )。 (A) 3个,(B) 4个,(C) 5个,(D) 无穷多个解:由x+y】10 x+10】y 得10-x【y【10+x。适合此式的自然数x有无穷多个,故选(D)。例2 (1987年全国初中联赛题)