凸多边形内任一点到各顶点距离之和与此多边形周长的关系

为了搞清楚凸n（n≥3）边形内任一点到各顶点的距离之和与此n边形周长的关系,我们先看如下一个命题: 设P为△ABC内任一点,则1/2（AB+BC+CA）<PA+PB+PC<AB+BC+CA 本题的证明很容易,这里从略现在试问:设P为凸n（n>3）边形A1A2…An内任意一点,不等式: 1/2（A1A2+A2A3+…+AnA1）<PA1+PA2+…+PAn<A1A2+A2A3+…+AnAi是否仍然成立呢?对于不等式的左边,比较易于证明,（用数学归纳法）,这里从略而对于不等式的右边,考察如图二所示的例子:设P为正六边形A1A2…A6的中心,即P是正六边形的外接圆圆心显然有: