探究共点共线的射影几何学方法

由完全四点形、调和点列或调和线束的定义,Desargues命题、Desargues逆命题或调和共轭定理,解决了三线共点、四线共点,三点共线、四点共线、五点共线或六点共线的问题.同时还应用上述定义、命题或定理解决了求定点问题、轨迹问题及作图问题。

Pascal命题和Brianchon命题在解题中的应用

由Pascal命题及其逆命题和它对偶的Brianchon命题及其逆命题来解决三点共线,三线共点,四点共线,五点共线,六点或六直线在一条二次曲线上的问题,还应用这两个命题解决了求解定点问题与定直线问题以及作图问题.

Lebesgue积分的一个附注

首先阐释了Lebesgue积分的优越性 ,然后通过由Fatou定理对Lebesgue控制收敛定理的证明 ,表明了Lebesgue积分的三大著名定理Levi定理、Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理均是彼此等价的。

曲线的交角及轨线方程

给出了曲面的两相交曲线的交角的解法,同时给出了几种特定条件下的曲线的轨线方程的解法.最后给出了与子午线交定角的轨线方程的解法.

二次曲线的仿射性质探讨

通过实例,由定义和定理,解得了抛物线的任意一组平行弦中点共线;平行于一对共轭直径的椭圆外切平行四边形面积为常量;椭圆的二共轭半径之平方和为定值;双曲线上任一点引两直线各平行于渐近线,这二线和渐近线构成的平行四边形面积一定;双曲线的弦的中点的轨迹在平行于另一渐近线的直线上;通过有心二次曲线一点的直径的共轭直径平行于该点的极线及平分弦的问题.

轨迹问题研讨的射影几何学方法

为了考察卵形线的性态,对动点的轨迹曲线进行了研究.将直线看成是圆心在无穷远点而半径为无穷大的圆周.应用射影变换、透视对应、Desargues逆命题、恒等变换、调和共轭、配极变换等,得到了在各种条件下轨迹曲线的数学模型.

矩阵的迹在解题中的应用

根据矩阵迹的定义 ,首先给出了矩阵迹的性质 ,然后依据方阵的F—范数定义Cauchy—Schwarz不等式 ,给出了零矩阵 ,不相似矩阵 ,数幂矩阵 ,列矩阵 ,幂等矩阵及矩阵不等式的证法。

Остроградский-Gauss公式的应用研讨

首先由Green公式引入O-G公式,然后利用O-G公式和第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系,将空间区域的体积表为曲面的积分;再分别利用直角坐标与极坐标,解得了一般封闭曲面所围立体的体积;最后利用O-G公式计算曲面积分,得到了锥面与球面所围立体表面的外侧及一般封闭曲面所围立体表面的上侧。

对称原理的进一步推广

利用分式线性照射 ,把关于两圆周对称的区域 ,分别照射成关于实轴对称的两区域 ,然后再建立后面这两个区域间的分式线性照射 ,最后利用代入法化简整理 ,便于得到关于两圆周对称的区域间的照射 ;同时还证得了在扩充的定义区域内上述函数的解析性态 。

Cauchy型积分定理的证明

依据积分估值对Cauchy型积分F(z)在z平面上简单逐段光滑曲线C外任一区域D内的解析进行了证明 ,其方法是利用数学归纳法 .且在证明过程中作了一个以原点为心包含积分路线C及z0 ,z0 +Δz的圆盘 |z0 |≤R ,致使 |ζ -z0 |≤ 2R ,|ζ -z0 -Δz|≤ 2R ,最后 ,令Δz→ 0 。

用射影几何方法探讨Desargues逆命题

藉助射影几何的理论通过将直线投影到无穷远,由两相交直线投影成二平行直线及任意四边形投影成平行四边形的引入,首先给出了Desargues逆命题在平面域内的证明,然后用射影几何方法构造了一个辅助三点形,最终导致了该逆命题在空间域内的证明.

Desargues逆命题证明的射影几何学方法

藉助射影几何的理论,通过将直线投影到无穷远,将两相交直线投影成两平行直线及任意四边形投影成平行四边形。首先给出Desargues逆命题在平面域内的证明,然后用射影几何方法构造了一个辅助三点形,利用Desargues定理证得了两异面三点形对应边的交点共线,再用如上所述平面域内所得的结论证得了两同面三点形对应顶点的连线共点。最终得到了该逆命题在空间域内的证明。

对称原理的进一步推广及研讨

利用分式线性照射,把关于两圆周对称的区域,分别照射成关于实轴对称的两区域,然后再建立后面这两个区域间的分式线性照射,最后利用代入法化简整理,便于得到关于两圆周对称的区域间的照射;同时还证得了在扩充的定义区域内上述函数的解析性态,以便于研究这些解析函数.

曲面的第二基本形式研讨

不但给以了伪球面、椭圆面、劈锥曲面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面及双曲抛物面的第二基本形式,而且给以了一般曲面的第二基本形式。

关于同余关系的几种证明

由陪集的定义解释问题 ,首先确定了 ρ是G中的一个等价关系 ,然后给予了

镜面反射存在命题的证明

对镜面反射的存在命题进行了证明 ,并用数学归纳法推出了由镜面反射所决定的正交变换。

曲面的联络系数Γ_ij^k及ω^i_j的计算

首先给出了正交曲线网作为曲面S的参数曲线网时曲面的联络系数,即Γ111=2-1(EG-F2)-1(GE1-2FF1+FE2),Γ211=2-1(EG-F2)-1(2EF1-EE2-FE1),Γ112=2-1(EG-F2)-1(GE2-FG1),Γ212=2-1(EG-F2)-1(EG1-FE2),Γ122=2-1(EG-F2)-1(2GE2-GG1-FG2),Γ222=2-1(EG-F2)-1(EG2-2FF2+FG1)。然后给出了用曲面的第一基本形式的系数E,F,G及其偏导数表示的联络系数Γkij及ωji的计算。