一九九一年澳大利亚通讯数学竞赛试题与解答

澳大利亚举办的数学竞赛有几个层次:1.澳大利亚数学竞赛;2.澳大利亚通讯数学竞赛;3.澳大利亚数学奥林匹克。通讯数学竞赛大约有300名学生参加,分为十年级以下(含十年级)和十年级以上两组进行。试题由澳大利亚提供,解答由本人给出。供十年级及十年级以下学生测试 1.一勘测队员对到一矩形土地的三个顶点的距离进行了测量,所得结果如图1所示。问是否有必要再对到第四个顶点的距离b进行测量。解如图1所示,设勘测队员所在点为P,矩形的四个顶点分别为A,B,C,D,矩形的中心为O。则PA=6,PB=2,PC=7,PD=b。

第四届英国初中数学奥林匹克

近几年来,数学竞赛热在各地兴起。一批青少年显示优异的数学才能,在高水平教练的带领下,终于在国际奥林匹克竞赛场上连获佳绩,使国人为之振奋。一时间,传媒广泛报道,有关方面颁令嘉奖,使数学竞赛之热趋于白热化。此时,许多人认为过了头,据说数学界的一些领导人也认为“竞赛热”应当降温了。无独有偶。今年八月在加拿大举行的第七届国际数学会议上,有一场事先精心组织的辩论会(Croggfjre,意为交火),其题目乃是“数学竞赛”。辩论会由攻方和辩方各三人组成,台下听众亦可插话,开得十分热烈,辩论的主题涉及数学竞赛的价值,竞赛题的内容,数学竞赛选手的培训,以及数学竞赛优胜者的表现。总之,国际上并非大家都赞成数学竞赛,许多人持否定态度。不过,更多的人似乎还赞成搞竞赛,只是要更趋于普及,更适合大众的需要。中国的数学竞赛已行之多年,成绩出色,但对其进行认真地研究,恐还不多。在我们看来,数学竞赛还是利多弊少,我们希望数学竞赛能够更健康地发展。正由于这个基本立场,我们组织了一批世界各国的数学竞赛试题和有关文章,供读者研究、参考。

第一届墨西哥数学奥林匹克试题与解答

1990年,墨西哥举行了第一届数学奥林匹克。竞赛分两天进行,每天4.5小时,共有62名中学生参加。这里提供的试题译自俄罗斯《Квант》杂志92年第1期。 1.证明:如果两个不可约分数的和是整数,那么这两个分数的分母相同。证设两个不可约的分数为q/p和n/m,则 q/p+n/m=(qm+pn)/pm是整数。即pm|(qm+pn)。 (1) 由p|(qm+pn)知,p|qm,而(p,q)=1,∴p|m。 (2) 同理,由m|(qm+pn)推得m|p。

第五届英国中学数学邀请赛

本次比赛于1992年2月6日举行,共有85000名学生参赛。时间为1小时,禁止使用计算器、直尺和测量仪器。参赛对象为13～14岁的9年级学生。 1.图1是UKSMC标图的一部分,它可以笔不离纸地一笔画出而且不用重复画任一条线段。如果你从S点开始画,试问你在哪一点结束? A U;B K;C S;D M;E C。 2.黛特原该用4去除一个数,但她却把这个数减去4,得答数48,问她本该得哪个答数? A 12;B 13;C 52;D 192;E 208。

1990年西班牙数学奥林匹克试题与解答

到目前为止,西班牙数学奥林匹克已举行了28届。每届有两轮,跨年度进行。这里提供的是1990年下半年举行的第27届第一轮的试题,根据前苏联《量子》的俄文稿译出,部分解答参考了《西班牙数学奥林匹克》(OLIMPIADA MATHEMATICA ESPA(?)OLA)。第一天 1.设a,b,c为直角三角形的边长。证明,若这些数是整数,则其乘积abc能被30整除。证明整数a,b,c为直角三角形的三边长,则有c^2=a^2+b^2(不妨设c为斜边)。(1)若a,b中有偶数,则2|ab,否则2|c,所以2|abc;(2)若a,c中有3的倍数,则3|ac,否则b^2=(c-a)(c+a)能被3整除,因为3是素数,所以3|b,因此有3|abc;(3)若5不整除a,b。