环的交换性条件

设R是半质环,C是R的中心。本文证明,当R满足下述条件之一时为交换环: 1.对任意x,y∈R,均有(xy)~2+x^2y^2∈C; 2.对任意x,y∈R,均有(xy)~2+y^2x^2∈C; 3.有整数n>1,m>1,使对任意x,y∈R,均有[X^n,y)-[x,y^n]∈C,且R为(M^n-m)-扭自由的。 我们定义环R的m-超中心为T_m={r∈R|对任意x∈R,均有rx^m=x^mr}。本文证明,若R为半质环,则T_m即为R的中心。

环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。