对[a+1/a][b+1/b]最值的探讨和推广

问题1 已知a＞0,b＞0,且a＋b =1,求证：（a＋1/a）（b＋1/b）≥25/4. 本题经常出现在学生平时的测试题，甚至竞赛题中．关于这道题，有很多种证法，比如比较法，分析法，三角换元法，利用均值不等式或柯西不等式和对勾函数性质证明等等．下面笔者介绍本题三种常见的证法并对其加以拓广．

“诗眼”,例说

古人评诗常用“诗眼”的说法,所谓“诗眼”就是一首诗或一句诗中最精炼传神的一个字。古代诗人在锤炼诗歌语言时留下很多美谈,有人为“吟安一个字”而“捻断数茎须”,有人因“两句三年得”而“一吟泪双流”,务使为诗语言精炼传神。

对一道最值问题临界情况的再研究

问题 在条件a，b，c∈R＋且a＋b＋c=1下，是不是a^2＋b^2＋c^2＋λabc（A∈R）一定有最值？文[1]探讨了此问题，并得出结果：当A≤2时，a^2＋b^2＋c^2＋λabc有最小值与（λ＋9）/27，且在a=b=c=1/3时取得。