巧用完全平方公式解竞赛题

完全平方公式是初中数学中的一个重要公式，在初中乃至高中阶段都有广泛的应用，在数学竞赛中，更是解决问题的重要武器，现举几例，以飨读者。

四边形中的双中点问题

在一个四边形中，共有四条边两条对角线，所以一共可以产生6个中点．本文主要说说已知两个中点的问题，已知两个中点会有以下四种情况①相邻两边的两个中点，连结以后会得到以一条对角线为第三边的三角形的中位线；②一边及一对角线的中点，连结以后就会有三角形的中位线；③两对角线的中点；④一组对边的中点．对于①②两种情况，一般来说问题相当简单，这里不再赘述．下面笔者就③④两种情况的解题思路、方法与同学们交流一点心得．如果问题属于③④两种情况之一，一般说来要考虑作出第三个中点，与给出的两个中点分别连结。得到两条中位线，从而解决问题，下面分隋况来举例说明．

利用图形变换求面积

在求一些不规则图形的面积时，因为不能利用公式直接计算，所以往往对图形进行等积变换，将不规则图形转化为规则图形求出面积，从而达到事半功倍的效果．常用的图形变换有：平移、旋转、翻折，下面就利用这几种变换来求一类以抛物线为背景的图形的面积问题．

例谈含有中点和角平分线条件问题的解题思路

题目中有两个重要条件：一个是角平分线；另一个是线段的中点．针对这两个条件，笔者谈一下在解题时应如何切入，怎样思考．

作差法解答数列型探究题

随着新课标的全面实施,探索类问题成了各类试卷的亮点。而在众多的探究题中,数列型当为基础,因为有百分之九十的探究题都可归结为数列型来解决.总体来说要处理好两点：一个是编号.事实上探究的规律是数列的变化部分与编号之间的规律。二是求通项（即用含n的式子表示的项）.通项即是探究出的规律,求出通项才算领悟了问题的真谛.而作差法又不失为解决数列型探究题的妙法之一，下面具体说明：

一道中考题的生成过程

旨在通过本文给同学们展示一下中考题以及数学题的形成过程,但愿能给大家的学习带来一点帮助.

面积使双曲线与其他图形完美结合

近几年的中考题中，双曲线频频登场，可以说红得发紫，而且不是孤单出场，总能找到合适的搭档演绎精彩，究其原因是因为双曲线与面积结下了不解之缘．下面我们一起走进2013年中考，看看双曲线都与哪些大腕共同闪亮登场．

多变的“影子”

重重叠叠上瑶台,几度呼童扫不开.刚被太阳收拾去,却教明月送将来.这是北宋诗人苏轼描写影子的著名诗句.其实＂影子＂不但在文学中备受青睐,在数学中也是红得发紫,特别是它那善变的身影更是耐人寻味.下面我们就一起来看一场影子的变身表演.问题学校的数学课外活动小组为了知道学校旗杆的具体高度,在一个晴朗的下午展开了对旗杆影子的测量,

2014年中考数学模拟试卷(三)

卷I（选择题。共42分） 一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中。只有一项是符合题目要求的）

对一道“希望杯”几何赛题的探究

08年(第十九届)"希望杯"全国数学邀请赛初二第二试的第21题为:如图1在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=BC=10,CD是射线,∠BCF=60°,点D在AB上,AF、BE分别垂直于CD(或延长线)于F、E,求EF的长.

“希望杯”竞赛题中的兄弟正方形

并排放置的两个正方形("兄弟"正方形)所构成的面积问题很有趣,精选几道竞赛题以供赏析.例1如图1所示。

两个简单结论在竞赛中的应用

如图1.正方形ABCD的一个顶点A在直线l上,DE⊥l于点E,BF⊥l于点F,则易得△ADE≌△BAF,DE=AF.如图2,正方形ABCD、AGHK的公共顶点A在直线l上,KB⊥l于点F,

对《由一道习题看“错位中点”的一般解法》的商榷与延伸

《中学生数学》（初中）2012年第1期刊登了文章《由一道习题看“错位中点”的一般解法》，笔者经过仔细阅读、研究，发现所列举的几种方法就本题而言均不具有“一般性”，对于其他问题有没有“一般性”更不言而喻，对于学生没有任何指导意义与帮助．为避免误导同学们，笔者先对几种解法进行剖析，然后给出本题几种真正的一般解法．

只有看透本质 才有精彩生成——对《抓住试题资源引导学生探究》的商榷与再探究

《中小学数学》（初中版）2012年第1-2期刊登了冀怀中老师的文章《抓住实体资源引导学生探究》，文章以一道中考题为素材，设计了五个问题情境，对中考题进行了系列探究，但是感觉文章翻来覆去只局限于两个正方形的旋转上，并没有探究出问题的实质，因此也就不能引领学生达到一个崭新的境界．也就是说探究结束后学生并没有脱离题海，只是由做一道题变成了做一组题，所以说这样的探究是无果的探究，是事倍功半的做法．那么正确的做法应该怎样呢？笔者借贵刊一角发表一下个人见解，不当之处请各位同仁批评指正.

对一道课本习题的探究挖掘与链接

选入课本的习题都比较经典，大多都具有研究的价值。随着新课标的全面实施，探究题成为各级考试的热门问题，中考中的探究题更是花样翻新、层出不穷，因此引导学生对教材多研究、多探究、多挖掘，方能提高能力，掌握方法，在中考中才能达到游刃有余的效果．做到以不变应万变，本文给出一例，仅供参考．

由两个简单结论引发的对一道竞赛题的探究

结论一：角平分线＋垂线→等腰三角形（及底边的中点）．具体理解：如图1，OP是∠MON的平分线，AB⊥OP，分别交OM、ON于点A、B。则有以下结论成立：①OA=OB；②点C是AB的中点．即△AOB是等腰三角形，垂足是等腰三角形底边的中点．特别说明：结论②用的更多一些．证明比较简单，这里从略．结论二：直角三角形一个锐角的平分线与斜边上的高线以及该锐角的对边围成等腰三角形．

绝对值的几何意义赛题例说

我们知道｜x｜=a（a≥0）的几何意义是：数轴上的点（x）[注本文中符号（x）表示数轴上的数工所对应的点]到原点的距离是非负数a．事实上原式可改写为：｜x-0｜=a（a≥0），这样一眼就能看出是点（x）与原点（0）的距离．

圆中不唯一解的问题举例

圆是一个完美图形，它是边数无穷多的正多边形，因此它具备正多边形的所有性质，不仅是轴对称图形，有无数条对称轴，同时是中心对称图形，还具有独特的旋转不变性．正是由于圆有如此多特性，所以在解决与圆有关的问题时，一定要注意分类讨论，确保不漏解．现将圆中常见的不唯一解的问题归纳如下，与大家共赏．

例析同一坐标系中两条双曲线共存的考题

结论：若A是双曲线y=k/x上的一点，从Z点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为B、C，则四边形ABOC的面积为｜k｜，△ABO、△ACO的面积为｜k｜/2．