一类三角不等式的证明

关于三角形内角的一类三角不等式的证明,学生往往无从下手,本文介绍一种利用凸函数或凹函数的方法,可使证明大大简捷。为了说明问题,先介绍两点关于凸函数和凹函数的理论。

一道美国数学竞赛题的多种解法

已知a、b、c、d、e是实数且满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,试确定e的最大值。（美国第七届中学数学竞赛题） 解法一:判别式法 a+b+c+d+e=8 （1） a2+b2+c2+d2+e2=16 （2）消去a得2b2-2（8-c-d-e）b+（8-c-d-e）2 +c2+d2+e2-16=0因为b∈R,所以 （?）1=4（8-c-d-e）2-8[（8-c-d-e）2 +c2+d2+e2-16]≥0即3c2-2（8-d-e）c+[（8-d-e）2 -2（16-d2-e2）]≤0由于c∈R,因而关于c的二次函数的图象与x轴相交,所以 （?）=4（8-d-e）2-12[（8-d-e）2 -2（16-d2-e2）]≥0即4d2-2（8-e）d+（8-e）2-3（16-e2）≤0又因d∈R,故关于d的二次函数图象与x轴相交。