Gergonne线平方和的上下界估计

△ABC的内切圆与三边BC,CA,AB的切点分别为D,E,F,则AD,BE,CF交于一点J,称此交点J为Gergonne点,AD,BE,CF称为过J点的Gergonne线.如图1所示.

解题擂台139的逆向不等式

解题擂台139在△ABC中,设其外接圆半径、内切圆半径及三个旁切圆半径分别为R,r,r_(a)+r_(b)+r_(c),则√r_(a)+√r_(b)+√r_(c)≤√6R(sin A/2+sin B/2+sin C/2)①宿晓阳在文[1]中给出了①的证明.本文考虑①的逆向不等式,得到如下的结果.

Milosevic不等式的两个类似

设ΔABC的三边长为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r,半周长为s,面积为Δ,Σ表示循环求和.Milosevic在[1]中提出如下一个不等式Σa/b+c sin^(2) A/2≥1/2(1-r/2R)≥3/8(1)这是一个形式简洁,优美的不等式.

一个美国数学月刊问题的加强及下界估计

《美国数学月刊》 2020年第5期问题12182(George Apostolopoulos提供)如下[1]:设△ABC的三边长为a、b、c,外接圆和内切圆半径分别为R、r.在三条边BC、CA、AB上分别取点D、E、F,使得AD、BE、CF为△ABC的角平分线.设RA、RB、RC表示三角形AEF、BFD、CDE的外接圆半径,则RA+RB+RC≤3R^2/4r①通过研究,得到①的一种加强,并给出②下界的一个估计.

一个几何不等式猜想的证明

设a,b,c为△ABC三边长,s为△ABC半周长,x,y,z>0,λ≥1,则y+z/x·a/A^(λ)(s-a)+z+x/y·b/B^(λ)(s-b)+x+y/z·c/C^(λ)(s-c)≥12(3/π)^(λ)①这是一个形式优美的不等式,是由D.M.Milosevic提出,刊登在塞尔维亚数学杂志《Univ.Beograd.Publ.Ele.FakSer.Mat》2006年第17卷[1]“问题解答”栏中的一道星号题(猜想),由于该杂志从2007年第18卷开始更名为《Applicable Analysis and Discrete Mathematics》,并取消了问题解答栏目,因此关于①的解答便也随之不了了之.

一道美国数学月刊问题的探讨

希腊学者George Apostolopoulos在《美国数学月刊》2022年第2期上给出的问题12303如下[1]:问题12303设∆ABC的三边长为a,b,c,外接圆和内切圆半径分别为R,r.在三条边BC,CA,AB上分别取点D,E,F,使得AD,BE,CF为∆ABC的角平分线.

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