IMO-36第二试题的推广

第36届IMO第2题,可推广得如下四个命题: 命题1 设a、b、c∈R^+,且abc=1,则1/a^3(b+c)+1/b^3(c+a)+1/c^3(a+b)≥1/2(bc+ca+ab)(1),当且仅当a=b=c=1时等式成立。 证 易知(2)等价于b^2c^2/a(b+c)+c^2a^2/b(c+a)+a^2b^2/c(a+b)≥1/2(bc+ca+ab)(2)。由平均值不等式可得: b^2c^2+(1/4)a^2(b+c)~2≥abc(b+C), ∴b^2c^2≥abc(b+c)-(1/4)a^2(b+c)~2,