构造图形巧证不等式一例

本刊于94年第7期上曾讨论了不等式“设X≥0,求证 (2+x)/(1+x)((1/2)(1+x)~2)≥2((1/2)2)。”的几种证法。现通过构造图形再给出两个证法。 证法1 如图,构造边长为2的正方形ABCD,点O是中心,延长BC至点E,设CE=x,过E,O的直线交AB于点N,过点O作OM∥AB,交BC于点M,取EN的中点F,连结BF和BO。易知EM=1+x,EB=2+x,OM=1,OB=(1/2),EO=(1/2)(1+(1+x)~2,BF=1/2EN。∵OM∥NB,∴EM/EB=EO/EN,即(1+x)/(2+x)=((1/2)(1+(1+x)~2))/EN。