一个有趣平几公式的三角证法

《中学数学》（苏州）1996年第9期《一个有趣的平几公式》一文介绍了一个新发现的颇为有趣的平几公式,本文将巧用三角法提供一种别致的证明. 定理 已知△ABC,BC边上的高为h,N为BC边内一点,△ABN与△ANC的内切圆半径分别为r1,r2。

一道赛题的几何证明

《中学数学教学》1997年第6期刊载的胡耀宗先生的“第35届IMO一道预选题的简证与引申”一文。

一个猜想命题的证明

《中学数学教学》2012年第4期登载的＂2012年安徽中考数学一道平面几何试题的研究＂一文（下称文[1]）,以一道中考几何题的探究为起点,经研究,得到了三角形周长等分线的两个饶有趣味的性质定理,并于文末提出了一个猜想命题.认真拜读,受益匪浅,较有启示.其中文[1]的猜想引起了笔者的极大兴趣,经反复思索、探寻,

一个双曲线的对称轴、焦点、实轴与虚轴长——兼擂题(92)解答

贵刊擂题（92）为（何豪明提供）：已知双曲线G的方程为y=ax＋b/x（ab≠0），试求该双曲线G的对称轴所在的直线方程、焦点坐标、实轴长、虚轴长． 本文给出擂题（92）的解答．先给出如下预备知识．

一道IMO试题的别证

第48届IMO的第四题是由捷克提供的一道平面几何题．此题浅显简明，内涵丰富，颇具思考性．笔者经探究，得到了异于原参考解答的几种较为简单、明快、有趣的别证，现介绍如下，供参考．

巧用变换x=a+b,y=a-b解题

众所周知,对于任意实数x,y,总有x=x+y/2+x-y/2,y=x+y/2-x-y/2,若令x+y/2=a,x-y/2=b,便得到 x=a+b,y=a-b. 这个简单的变换有着不同凡响的功效,解题中若能巧妙、合理地运用它,常能独辟蹊径、化难为易、避繁就简,使解题过程显得简洁、活泼、新颖、别致,现例说如下。 1 求变量的取值范围 例1 已知x,y是实数,且x^2+xy+y^2-2=0,则x^2-xy+y^2的取值范围是( )(1997年湖北省黄冈地区初中数学竞赛题) 解 设x=a+b,y=a-b, 代入已知等式,得3a^2+b^2-2=0. 即b^2=2-3a^2。

一道祖杯赛题的简解

第九届初中《祖冲之杯）数学邀请赛第三题是: 解方程:(13x-x^2)/(x+1)(x+(13-x)/(x+1))=42. 原参考解答是通过换元,构造辅助方程求解的,运算较繁.现给出一个简捷解法. 解 原方程即为(13x-x^2)/(x+1)×(x^2+13)/(x+1)=42.

一道“希望杯”赛题的解法赏析

下面仅就初二年级同学所学几何知识的范围，探究此题的几种解法，供读者赏析．

一道“希望杯”赛题引出的结论与应用

第19届"希望杯"全国数学邀请赛初二年级第1试的一道平凡题是:如图1,在△ABC中,AB=AC=5,P是BC边上点B。

双圆四边形中一个猜想不等式的证明

《数学教学》2012年第7期刊载的《欧拉不等式的最简隔离及推广猜想》一文，运用几何画板进行了有效探究，发现并证明了欧拉不等式的一个最简隔离，最后经过类比，于双圆四边形（既有内切圆又有外接圆的四边形）中提出了一个猜想．笔者阅后颇受启发，再经思索、探究，发现其猜想是正确的，下面将给出文猜想的证明，供读者参考．

一道平几竞赛题的简证与引申

《中学数学》（初中版）2010年第2期登载的“再谈几道几何题的解答”一文（下称文[1]），对初中数学竞赛中的几道平面几何问题“用几何法给出较简单的解答”（文[1]），阅后受益匪浅．下面将独辟蹊径，介绍一个新颖、别致、浅显、简单的有趣证明，并对原问题作进一步的引申，供读者参考．

“三角形内切圆的一个性质”的引伸探究

命题1⊙0是△ABC的内切圆，与三边分别相切于E，F，D三点，则△ABC是直角三角形？S△ABC=AD·BD．这是文[1]介绍的三角形内切圆的一个性质，文[2]指出了文[1]中证明的两点错误，阅后颇受启示。笔者经思索、探究，发现当⊙0是△ABC的旁切圆时。此结论仍然成立。于是得到了三角形内切圆性质的一个有趣引申。

一道联赛题的新解探析

例如图1，ABCD是边长为a的正方形，以D为圆心，DA为半径的圆弧与以BC为直径的半圆交于另一点P，延长AP交BC于点N，

另证一道几何赛题

例如图1，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且AB=AC=AE．请你说明以下各式成立的理由：

一道联赛题的多解探析

题目在△ABC中，已知∠CAB=60°,D、E分别是边AB、AC上的点，

巧用完全平方公式的变式解题

由完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2,可ab=1/4[(a+b)2-(a-b)2].(*) 解题中若能灵活、恰当地运用(*)式,常会收到化难为易,避繁就简的效果.现举例说明它的若干应用.

巧拆项 妙证题

题目 求证：对任意两两不等的三个实数a，b，c，（a＋b-c）2/（a-c）（b-c）＋（b＋c-a）2/（b-a）（c-a）＋（c＋a-b）2/（c-b）（a-b）是常数． 该题是2012年北京市初二年级数学竞赛的第三题．乍见此题，束手无策．常规通分运算，显然冗繁不堪．参考答案提示——换元，也非上佳之策．实际上，巧用拆项法，便有一个出人意料的奇思妙证．现介绍如下，供读者参考．

一道三角题的证明错误及新证

这是一道简捷有趣的三角问题，诸多构思独特、别具匠心、见仁见智的证法散见于中学数学期刊．贵刊文[1]欲另辟蹊径，给出一个直接的证明方法，可惜无如所愿，使证明功亏一篑．为便于说明，现简录如下：