等轴双曲线的若干有趣性质

等轴双曲线是特殊的双曲线,它除了具备一般双曲线的所有性质外,还具有一些特殊的性质,本文给出笔者探寻的等轴双曲线的一些特性,以飨读者.

椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质

在对圆锥曲线的研究中,笔者得到了关于椭圆、双曲线与切线有关的一个有趣性质,介绍如下,以飨读者.图1性质1给定椭圆E:x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0),O为E的中心,F是E的一个焦点,l是过E上任意一点P所引的切线,F在l上的射影为Q,则OQ=a.

椭圆与双曲线的错误类比与结论修正一例

本文指出某文献中给出的一个结论是错误的,并将其修改为一个正确的结论.

有心圆锥曲线中的一组调和点列

定义如图1,对于线段AB的内分点C和外分点D,若AC CB=AD DB,则称点C、D调和分割线段AB(或线段AB被C、D调和分割),或称点列A、B,C、D为调和点列.本文介绍有心圆锥曲线(椭圆或双曲线)中与调和点列有关的一个结论,以飨读者.

一个代数不等式及其广泛应用

本文给出并用三元均值不等式证明一个代数不等式,并从四个方面举例说明其广泛的应用.

平方法在解题中的妙用

本文从求函数的最值(或取值范围)、证明不等式(或等式)、解方程等三个方面举例说明平方法在解题中的妙用.

椭圆中关于最值问题的几个结论

本文给出椭圆中的几个(一类)最值问题的结论,并通过整体换元的方法将所求的最值问题转化为求二次或一次函数最值的方法给以证明.

椭圆切线与焦半径之间的有趣性质

本文给出两个新发现的椭圆、双曲线涉及切线及端点为切点的两焦半径的有趣性质.定理1给定椭圆Γ:x^(2)/a^(2)+y^(2)/b^(2)=1(a>b>0),F_(1)(-c,0)、F_(2)(c,0)(c=√a^(2)-b^(2))(或c=√a^(2)+b^(2))(或c=√a^(2)+b^(2))是Γ的两个焦点,l是和Γ相切于点P(P不在Γ的长轴(或实轴)端点)的任意一条切线,M,N分别是F_(1),F_(2)在l上的射影.

Can-Hang不等式的加权推广及引申

文[1]给出了如下的Can-Hang不等式:已知a,b,c>0,abc=1,求证:1 a 2+a+1+1 b 2+b+1+1 c 2+c+1≥1.(1)本文给出不等式(1)的三种加权推广及引申.命题1设a,b,c>0,abc=1,1≤λ≤4,则∑1λa 2+a+1≥3λ+2(2)(其中“∑”表示轮换对称和,以下同).

相互转化证明对称与轮换对称不等式

本文阐述了对称不等式与轮换对称不等式的证明可以互相转化,为不等式的证明开辟了一条途径.

一道数学竞赛不等式题的推广

题目设x,y,z∈R+,且xy+yz+zx+xyz=4,证明:x+y+z≥xy+yz+zx.①这是1996年越南数学奥林匹克竞赛的一道不等式试题是(参见文献[1]例3)本题对称优美、值得玩味,本文将这道竞赛题加以推广,得到如下一个新的不等式命题及若干推论.

两道数学竞赛题的拓广与引申

本文先用较简的方法证明两道数学竞赛题,然后将其拓广与引申.题1(第36届IMO试题)设a,b,c>0,abc=1,求证:1/a^(3)(b+c)+1/b^(3)(c+a)+1/c^(3)(a+b)≥3/2.

Nesbitt不等式的一个新推广及引申

Nesbilt不等式:设a,b,c>0,则a/b+c+b/c+a+c/a+b≥3/2.①这是一个对称、简洁、优美、内涵丰富、应用广泛的经典不等式,历史上曾作为1963年莫斯科数学竞赛题出现过,对它的研究(如证法、推广、加强、加细、应用等)也历久不衰,文献[1]给出了它的一种新推广,本文给出它的一种新推广。

椭圆问题中两个结论的简证

最近笔者阅读了文献[1],受益匪浅,但同时觉得文中的关于椭圆的两个结论(即定理1及性质1)的证明有不够简洁之嫌,下面给出这两个结论的优化证明.

一类不等式的证法探究

题目设a,b,c>0,求证:a^(4)/bc(b^(2)+c^(2))+b^(4)/ca(c^(2)+a^(2))+c^(4)/ab(a^(2)+b^(2))≥3/2①.该不等式是由笔者提供的《数学通报》数学问题2695,本文主要给出不等式①的两个类似不等式,并给出证明.

三元算术几何平均值不等式的另两种加细

本文给出三元算术几何平均值不等式的另两种加细.

圆锥曲线一类直线定向定点性质的完整结论

本文分别就椭圆、双曲线和抛物线三种曲线给出了圆锥曲线涉及过其上一定点所引两条动弦斜率之和(积)为常数的两动端点连线(过两动弦另一端点的直线)性质的完整结论及其证明.

利用柯西不等式证明一类分式不等式的升幂技巧

利用柯西不等式结合分子分母“升幂”技巧可以完成许多分式不等式的证明,本文举出若干实例加以说明.

一类条件不等式证明的一种代换方法

本文给出条件式为∑^(n)_(i=1)xi=1的一类不等式的一种代换方法,将条件不等式转化为无约束条件的不等式进行证明,举出数例加以说明方法的具体运用.