先天综合命题思想的判决性实例

明确论断和详细论证7+5=12这般意义明晰的命题的分析/综合性质,是每一位关心数学命题的认识论地位的数学哲学家、每一位关心分析—综合二分法和先天综合命题实存性的哲学家都无法回避的问题。继给出关于这一问题的穷尽所有可能的五个论断,并逐一反驳前四个论断,第五个论断最终得以被支持。这个论断是说:7+5=12是先天综合命题,但并非基于康德的理由。该论断为先天综合命题思想提供了判决性实例。对第五个论断的论证,一方面基于现代视角对算术命题的深刻内涵的理解,另一方面在哲学史上各个流派关于分析—综合二分法的观点间扬长避短。

对算术命题先天综合性质的系统论证

康德的先天综合命题思想是哲学上的重要创举。然而,囿于时代之限,康德对算术命题先天综合性质的阐述暴露其数学上理解的偏差。基于现代数学尤其是皮亚诺算术公理的视角,借鉴彭加勒对数学归纳法先天综合性质的论述,可以发现,算术命题是先天综合的。对算术命题先天综合性质的系统论证由最小数原理的先天综合性质始,经由数学归纳法的先天综合性质而至皮亚诺算术公理的先天综合性质,最后到达算术命题的先天综合性质。其中对综合性的论证,涉及非概念包含关系、无限性、数学公理的不可化约性、自然数的两种定义、哥德尔不完全性定理、数字和运算的不可化约性,等等。

论希尔伯特几何公理的综合性质

受时代局限,康德基于欧氏几何宣称几何命题的先天综合性质。欧氏几何的现代数学表达为希尔伯特几何公理系统,并且后者可以方便地演化出非欧几何。于是,论证希尔伯特几何公理的先天综合性质可以在现代数学的背景中为一般几何命题的先天综合性质提供支持。希尔伯特几何公理的先天性不言而喻。继反驳石里克对希尔伯特几何系统的公理定义所作的分析性论证之后,对希尔伯特几何公理的综合性质的正面论证在于,阐明蕴涵定义超出分析性程序的方法论本质,揭示希尔伯特几何公理对业已被证明为先天综合知识的算术的双重依赖,并利用多种几何并存的局面展示享有唯一性地位的算术系统所不能彰显的先天综合知识的独特模态。