2019年佛山市第一次教学质量检测解析几何解法探究及教学建议

2018年的高考数学试题一个显著的特点是文理同题(或相似)的比例大大增加,这是为了对接新一轮的课改不分文理所做的积极探索,为文理合卷做准备.今年的Ⅰ卷文理数学的解析几何试题是姊妹题,考查的均为等角问题,只是载体不同而已.文科以抛物线为载体,而理科以椭圆为载体.本次佛山一模命题时在这方面也做了一些探索,文理相同或相近试题的比例也有所提高.

例析几道“隐形圆”问题

圆具有丰富的几何性质,当利用圆的性质进行解题时可以起到事半功倍的效果.利用解析几何的思想可知,通过圆的定义可以获得圆的轨迹方程,利用阿波罗尼斯定理或托勒密定理等等也可以获得圆的方程.但在某些板块里面却没有明显的“圆”的方程,这就需要我们用创造性的思维构造出“圆”来进行解题.本文梳理了部分使用“圆”的轨迹来解题的案例,以供大家参考.

一道三角题的巧解及其变式推广

在解三角形问题中,常见的策略是利用正、余弦定理构建关于三角形边、角的方程,再通过解方程进行求解.笔者在教学的过程中遇到了一道解三角形问题,题干的信息非常简洁,但不能通过常规的方式求解,经研究,发现可以利用不等式的性质进行求解.即利用不等式的性质,研究不等式中等号成立的条件,即可获得多个方程,从而进行求解.现将探究过程整理如下,以飨读者.

对一道定点问题的多解探究

本文从多个视角解决了一道定点问题,最后再通过极点极线所得的调和点列研究了此类问题的命制过程,并据此命制了相关变式.

让一道双数列混合递推问题“圆”形毕露

利用数形结合的思想,通过构造圆将数列中项的变化规律进行了可视化的展示.揭示了数列的变化本质,并据此构造了多个变式,供读者练习.

蝴蝶起舞求定值米勒圆中求最值

本文通过蝴蝶定理以及米勒圆等视角求解了一道椭圆中的斜率定值问题以及张角最值问题,并将该结论拓展至一般的椭圆.

2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛第9题的解法与探源

本文分析了2017年全国高中数学联合竞赛广东赛区选拔赛的第9题，对其解法进行了解读．同时探究了该问题的命题背景．最后笔者仿照该问题设计了一道练习供读者参考．

探究2015年高考广东卷理科第21题

本文探究了2015年广东数学高考理科卷第21题，分析了参考答案中所构造函数的来源，并提出另外两种直接证明的方法．而且在文章末尾提出两道顺德区的期末试题作为练习．

例析中线公式的应用及其拓展

本文分别从向量以及正、余弦定理的视角证明了三角形的中线公式,探讨了其在解题中的应用,并将该思路推广至一般的等分线.

探究一道圆锥曲线试题中蕴含的定值问题

2021-2022学年上学期佛山市高二质量检测中的解析几何题是一道以椭圆为背景,考察三角形的“高”为定值问题.本文通过多个视角解决该问题,并通过极坐标的思想将该问题推广至一般情况.

利用函数的凹凸性探究切线问题

对于一个函数而言,切线的本质是割线的极限形式.函数在某点处存在切线的前提是在此处可导,因为导数的唯一性,所以函数在任意一点处的切线也具有唯一性.而在平面内过一点作函数的切线,在一般情况下却不止一条.2021年新课标1卷第7题就考察了指数函数的切线条数.

一道三角最值问题的多解及拓展

解三角形问题的常用解题思路是利用正余弦定理,实现边角的互化后进行求解;其次三角形作为平面图形,其自身具有丰富的几何性质,我们还可通过几何的视角来进行求解.本文对2022年新课标Ⅰ卷第18题的多解进行分析并将问题拓展到一般结论.一、题目呈现,记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.

利用“等和线”求解范围问题

运用"等和线"求解了一类范围问题,并将该结论推广至"等和面.

椭圆的第三定义

1.第三定义的由来 在人教A版教材–选修2-1的第80页有如下一道习题： 10.已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别为（-5,0）,（5,0）,且AC,BC所在直线的斜率之积等于m（m≠=0）,试探求顶点C的轨迹.

利用三面角的正、余弦定理解高考题

在近年的高考试题中,立体几何常常以锥体或柱体为载体,命题呈现一题两法的新格局(即可用综合法解也可用向量法解).一直以来,立体几何解答题都是让广大学生又喜又忧.为之而喜是因为只要能建立空间直角坐标系,基本上可以处理立体几何绝大多数的问题;为之而忧是因为对于不规则图形来讲,建系的难度较大,问题不能得到很好的解决,而运用传统方法,要作学生较为畏惧的多条辅助线.本文以三面角为基本图形,研究其正、余弦定理,并将其应用到解高考题中.

向量与三角形的“心”

在文[1]中,讨论了如下命题:若P是△ABC内部一点,且,则.并讨论了当点P为△ABC内的特殊点时,对应的具体λ值.例如,当P为重心时,λ1:λ2:λ3=1:1:1;当尸为内心时,λ1:λ2:λ3=a:b:c（其中,a,b,c是△ABC对应的三边）;当P为外心时,（为保证λ值为正,特强调△ABC为锐角三角形）λ1:λ2:λ3=sin2A:sin2B:sin 2C;当P为垂心时λ1:λ2:λ3=tanA:tanB:tan C.经过笔者的细心观察这些性质的逆命题也是成立的,具体如下:性质1若P是△ABC内部一点,λi∈R（i=1,2,3）。

巧用极坐标解决圆锥曲线的一类定值问题

圆锥曲线的定值定点问题越来越受到出题老师的青睐,运用常规方法解答,一般运算量都很大.而极坐标的两个参数分别为"长度"与"夹角",能非常方便的表示所求值.本文以一道模拟题为例,介绍一下利用极坐标求解定值问题的基本方法,并将其推广至一般情况.

对2016年全国1卷第20题的探究

2016年全国1卷的第20题通过定义的形式考察了椭圆的标准方程、弦长公式、对角线垂直的四边形的面积公式．以考察学生的基础知识为主，运算技巧为辅助．该题具有很好的区分能力，任何层次的学生对该题都会有自己的想法，都能做，但很难得到全分，所以说这是一道难得的好题．而且该题与2013年全国2卷的第20题非常相似，特别是第f2）问．我们先对比一下：

对2009年高考湖北卷理科第20题的再探究

1原题再现及探究的缘起题目(2009年高考湖北卷理科第20题)过抛物线y^2=2px(p>0)的对称轴上一点A(a;0)(a>0)的直线与抛物线相交于M;N两点,自M;N向直线l:x=−a作垂线,垂足分别为M1;N1。

巧用函数的“公切线”解题

在与不等式相关的问题中，“切线法”是一种基本方法，其思想本质是利用直线（即切线）将原来复杂的变量变为一次的式子．但对于某些含参的函数，如果直接运用“切线法”，往往计算量很大，且常涉及到讨论．接下来本文介绍一类利用“公切线”来求解不等式的技巧，以供读者参考．