以形助数浅谈

数学是研究空间形式和数量关系的科学,是数、式的准确刻划与几何图形的直观描绘的有机结合。在处理某些数学问题时,如果注重以数观形,以形辅数,那么就可达到化难为易,化繁为简的目的。是一种解决数学问题的重要思维方式。 1 联想数轴以形辅数 在解题中,若遇上某些绝对值问题时,注意与数轴联系,以形助数,即可取到别开生面,柳暗花明的效果。 例1 解方程:|x+2|+|x-3|=5。 解 这个方程的几何意义是:在数轴上的点x到-2和3两个点的距离之各等于5,由图1可知:只要在[-2,3]内的各点都适合方程.故原方程的解集为:-2≤x≤3。 例2 d,b,c为任意实数,且a】b】c,求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值。图1 解 |x-a|+|x-b|+|x-c|的几何意义:在数轴上的点x到a,b,c三点的距离之和。如图2,要求其最小值,即要在数轴上找一点x,使它到a,b,c三点的距离之和最短,很显然,这个点必是b点。所以,当x=b时,(|x-a|+|x-b|+|x-c|)min=a-c。 2 联想坐标以形辅数 图2 坐标系是数、式的显象器。在某些数学问题上,如果注意观察,想象,在坐标系中借以直观图象来解决,更显得清晰可见。是一种解数学题的好方法。 例3 若关于x的方程x^2-2|x|=m有四个不同的实根,求m的取值范围。 解 原方程可视为两个函数:y=x^2-2|x|,y=m,这样,原方程中问题就转?