超级画板与命题研究初探

奥数专家朱华伟教授在《从数学竞赛到竞赛数学》一书中援引数学家Arthur Engel的观点“创造一个问题比解决一个问题更为困难，创造问题几乎没有什么一般的准则．据我所知，在命题者的行列中，还没有一个Polya写出一本名叫《怎样命题》的书籍”．这充分说明了命题是一件充满创造性的工作．虽然命题人大多数学水平比较高，但智者千虑必有一失，

《技术与理论的完美结合》引起的反思

随着计算机的大量普及和中学老师的信息技术水平的逐步提高，很多老师不再把计算机看作是公开深的表演道具，而是将其作为日常教学过程中不可缺少的一个工具，就好像三角板和圆规一样．计算机的参与，在一定程度上提高了教学效率和教学质量；特别是动态几何软件（我国主要使用超级画板、几何画板，有些图形计算器也具有动态几何的功能）的使用，更是极大地提高了老师们的兴趣，这从最近几年杂志上刊登的大量的计算机辅助教学的文章就可以看出来．

《超级画板》的自动推理功能简介

使用动态几何软件，可以在计算机屏幕上画出所谓的动态几何图形：在拖动图中某些点或某些线时，图形在变动中能保持当初作图时被赋予的几何属性不变．中点仍是中点，垂线仍是垂线，等等．通过几何图形的动态变化，可体现以前在纸上无法观测到的几何原理，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的．

谈谈计算机怎样解几何题

近几年，我们在向中学老师介绍信息技术的时候，不少老师对计算机自动解几何题表示出强烈的兴趣，想了解得更多一些．关于这个问题，笔者曾写过一本科普读物（文[1]），但考虑到该书已经脱销，读者难以买到；再加上近几年智能教育软件又有了新进展，所以很有必要再来谈谈这个问题．

动态性是信息技术辅助数学教学的灵魂

读中学的时候，老师在讲解圆的面积公式S=πr2和周长公式C=2πr的关系时，播放了一张幻灯片，所展示的就是图1．这个图片的意思是，首先将圆分成若干等份，然后将圆弧展开，再将上边部分平移一个三角形的位置，最后将上边部分插入到下边部分，

从高斯线定理的巧证谈证法之优劣

高斯线定理是数学中有名的几何命题,高斯本人对这条定理感到自豪,因为他认为这是一个新发现,他写道：据我所知,迄今还没人注意到关于任意四边形的这个一般性质。

倒序法求前n个自然数的平方和

关于求解前n个自然数平方和问题，至少已经有10多种方法了．其中，最经典的是利用n3-（n-1）3求解．因为这种解法不但解题快速，更重要的是可以推广求解自然数方幂和．

平面向量基本定理与平行四边形问题

数学定理虽多，但被称为基本定理的却寥寥无几．一旦认真考究起来，前辈数学家们在命名的时候可不是随意的，譬如代数基本定理、微积分基本定理、同构基本定理，都是该数学分支中极其重要的理论基础．类推起来，平面向量基本定理应该也是非常重要的才对．

一个等边三角形经典问题的探究

笔者每次在进行三角形全等的教学中，都会讲解下面这个题目：如图1，已知等边△ABC内部的一点D，在AB、BC、CA三边上的垂足分别为F、E、G，求证DE＋DF＋DG为常数．

巧解数学难题二则

数学是公认的学习起来比较有困难的学科．这门学科确实存在一些难题，让学习者头疼．但笔者发现，一些被称为很有难度的题目，其实并没有传说中的那样可怕．有许多是由于作者对问题没有深入研究，缺少广泛查阅资料，下笔时又有点随意，贸然下结论．本文将以两个经典问题为例，说明方法恰当时有些题目并没有那么难．

闲话五角星

五角星是一个很有意义的图形．从数学史来看，最早对五角星的使用被发现在美索不达米亚的文献资料里，可追溯到大约公元前3000年．从普及范围来看，五角星遍布全世界；有人统计，世界上至少有50个国家的国旗带有五角星图案．世人为何偏爱五角星？是因为其对称性么？未必．正六边形的对称性更强，但只有少数几个国家的国旗使用正六边形．是因为黄金分割么？我想应该是因素之一．

用直角三角形构造勾股定理的证明

文给出了勾股定理的一个简单证明，这种证法是受经典的欧几里得证法启发得到的．而从细节处来看，却不大相同，因为欧几里得证法是从直角顶点C处向斜边AB作垂线段，而此处却是从点D出发向斜边AB作垂线段（图1）．

从直角三角形中的欧拉线谈起

读初中的时候，在一本课外书上偶然看到了欧拉线：如图1，任意三角形的外心O、重心G、垂心H三点共线（此线被称为欧拉线），并且2OG=GH．当时觉得很有意思，希望记下来，反复好几次，都没记住，经常把三个点的位置记错，甚至有时候还将内心也扯进来了．无意中想到，既然是对任意三角形成立，那么对直角三角形也应该成立啊，于是便得到图2，

可视化的π

文【1】认为“悠久的历史、奇妙的性质使得π蕴含着丰富的数学教育功能，然而在以往的数学教学中，这种功能却常常处于一种闲置状态，被当成一个冰冷的符号在使用．”并从“培养求真精神、激发好奇心、进行研究性学习”三个方面展开探讨如何开发π中的数学教育功能．笔者读后，很受启发，同时也觉得如果充分利用信息技术（譬如用超级画板）来探索π，那就显得更加直观，完全可以达到可视化的效果．

从“奇妙的切割”谈起

在美国著名科普作家马丁·加德纳的名著《啊哈!灵机一动》中记载了一个有趣的故事“奇妙的切割”．故事的主人公兰莎是个测量员，他善于把各种形状的木头分割成若干形状相同的小块．一次，有人请他把一块木头分割成形状相同的四块（图1），兰莎对这块木头这样分割（图2）．又有一次，有人请他把一块土地划分为形状相同的四部分（图3）．这可不是件容易的事情．但是，经过一番苦思冥想，他终于解决了问题（图4）．

从一则无字证明谈起

多年前，曾在美国的数学网站上看到这样的一个图片（图1），只有图片，没有文字说明．当时，笔者很迷糊，在大正方形当中作两个小正方形和√2有什么关系啊？

是“提前学”还是“温故知新”

最近几年，对奥数的抨击可谓空前强烈，甚至有人认为奥数之害甚于黄赌毒．各种抨击之声中，有一种观点是“奥数就是提前学，就是拿高年级的题来考低年级的学生!”

动态几何测量教学案例两则

几何学是数学最古老的分支之一，相传起源于土地测量．近些年，测量之风在中学教学中相当盛行．有些老师采用原始工具，主要是三角板、量角器；有些老师则先进一些，采用动态几何软件．所谓动态几何，是指在计算机屏幕上画出各种各样的动态几何图形，且几何图形在变化过程中保持几何属性不变；通过几何图形的动态变化，使人能更直观地深刻理解图形中的几何规律，从而达到真正理解几何原理的目的．到目前为止，全世界已经有几十种动态几何软件，我国主要使用超级画板和几何画板，一些图形计算器也具备动态几何功能．

谈谈超级画板的轨迹功能

美国开发的几何画板是现在比较流行的动态几何软件，最受用户欢迎的功能有两个，轨迹功能即是其中之一．相比几何画板，我国自主研发的《Z＋Z智能教育平台——超级画板》对于轨迹功能的设计，又有什么特别之处呢？

用超级画板探索“余弦树”

几何问题一直以来都是很多数学爱好者的“挚爱”．近十多年来，计算机的普及和几何软件的出现又掀起了研究几何问题的新高潮．计算机的帮忙使得“发现”几何命题更加容易：但另一方面，几何学毕竟已经研究了上千年，真正的原创又谈何容易．勾股树是勾股定理教学中一个有趣的素材，其原理是利用勾股定理，不断地将一个正方形面积分割成两个正方形；倘若不用计算机的话，绘制勾股树是相当繁琐的．