一个三角不等式的推广与应用

1967年,Z.Mitrovic建立了如下不等式: 在△ABC中,对实数λ有cosA+λ(cosB+COSc)≤1+(λ~2)/2,(1)

一类新的三角不等式

本文利用余弦函数的有界性、均值不等式及角变换(A,B,C)→((π-A)/2,(π-B)/2,(π-C)/2),建立一类新的三角不等式。 定理1 在ΔABC中,有:

据本巧设题

1.（2x+3）(2+（（2x+3）2+2）1/2+（7x-5）(2+（（7x-5）2+2）1/2=0的解是<sub><sub><sub>。 （高中联赛级 江苏东台市城北中学 杨华224200）

一个新的三角不等式

在△ABC中,成立以下不等式: cos A（cos B+cos C）≤(2×61/2)/9,（1） sin A（sin B+sin C）≤(8×31/2)/9,（2） sin A（cos B+cos C）≤(8×31/2)/9.（3）

一个几何不等式的加强及简证

设△ABC的边长为a、b、c,旁切圆半径为r_a、r_b、r_c,求证: bc/r_a^2+ca/r_b^2+ab/r_c^2≥4。（1） (《数学通报》1994年10月号问题920) 本短文将不等式(1)加强,并给出一个简单、快捷的证明。

一个三角不等式的推广

前苏联列宁格勒数学竞赛有以下试题: 已知△ABC的三边a,b,c满足a+b【3c,求证:tgA/2tgB/2【1/2 (1) 将其推广。

每期一题

题已知a、b、c是△ABC三边,求证: 8/27≥(b+c)(c+a)(a+b)/(a+b+c)~3 】1/4①这是一个著名的几何问题的等价命题。如图所设,a、b、c为△ABC顶点A、B、C的对边,I为内心,延长AI、BI、CI分别交对边于A′、B′、C′。

IMO5-5的推广

第5届IMO第5题为: 证明:cos(π/7)-cos(2π/7)+cos(3π/7)=1/2 ① 将其推广。

一道夏令营选拔赛试题的推广

1992年江苏省数学夏令营选拔赛试题第二题: 已知三角形的三边长为a,b,c,求证将其推广,我们有 定理 已知三角形的三边长为a,b,c,λ∈[-2,2],则 (1)式左端不等式的证明可参阅本刊文[2].这里,我们仅给出(1)式右端不等式的证明。

1998高考数学压轴题引起的思索

1998年全国高考数学文科第（25）题与理科第（25）题是一对数列与不等式巧妙结合的“姊妹题”,解题的关键（亦是难点）在于分别证明关于自然数n的不等式: （1+1）（1+1/3）…(1+1/（2n-1）】（2n+1）1/2, （1） （1+1）（1+1/4）…(1+1/（3n-1）】（3n+1）1/3, （2） 笔者尝试着寻找以上两式的简便而统一的证法,探究的结果是下述定理的发现, 定理 若n,k∈N+,且k】1。

利用函数的单调性证明和发现三角不等式

函数的单调性是函数的一个重要性质,应用相当广泛。 本文中,笔者利用函数的单调性给出一组三角不等式的简单证明并建立一些相应的新结果。

一个三角不等式的别证

在△ABC中,求证cosAcosBcosC≤(1-cosA)(1-cosB)(1-cosC)（1）(《数学通报》1997年2月号问题1057） 这里,笔者给出这个三角不等式的一个新证明。 证 不妨设△ABC为锐角三角形（不然,(1)式显然成立）,则cosA,cosB,cosC均为正数。 ∵cos（B-C）≤1,

一个数学问题的别解

在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,正△PQR的顶点分别在三角形ABC的三边上,求△PQR的最小边长。 这是《数学通报》1997年10月号问题第1100题,下面给出一种简单解法。

一道竞赛题的改进与巧证

第十三届(1953牛)普特南数学竞赛有这样一道试题: 设实数a,b,c中任意两个之和大于第三个,求证 2/3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) 】a^3+b^3+c^3+abc. (1) 事实上,我们有命题设实数a,b,c中任意两个之和大于第二个,则 2/3(a+b+c)(a^2+b^2+c^2) ≥a^3+b^3+c^3+3abc. (2)当且仅当a=b=c时等号成立. 证明:不难验证,(2)式等价于 (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)

数学的专题创作体会

本文通过一个实例揭示笔者创造和解决数学问题的一个思维过程．

Hayashi不等式的推广

1913-1914年,T.Hayashi建立了一个十分重要的三角形不等式(参见[1]P.297): 设a、b、c为△ABC的三边。