关于n元对称群上的有禁排列计数研究

有禁排列计数问题是计数组合学中的热点问题,在物理、化学、计算机等学科中有着广泛应用。本文在Kitaev的综述书籍基础上,对n元对称群Sn上有禁排列计数的经典结果进行了总结,并介绍相关研究成果。

避免双3长Vincular模式排列的计数研究

本文首先介绍有禁排列相关的基本定义,对避免双3长vincular模式排列的计数结果进行整理,将计数结果相同的模式用表格的形式进行分类。随后我们使用特殊元素分析与位置分析这两种方法,给出等8个避免双3长vincular模式排列计数结果的代数证明。

构造曲率单调的组合二次h-Bézier曲线

h-Bézier曲线(h>0)又被称为Pólya曲线,它具有与经典Bézier曲线(h=0)一致的诸多优良性质。为此,文中研究了二次h-Bézier曲线具有单调曲率的充要条件及其构造算法。首先,讨论二次h-Bézier曲线曲率极值的存在性,得到曲线具有单调曲率的充要条件;通过引入曲率临界圆,给出判断二次h-Bézier曲线曲率单调性的几何方法,即检查二次h-Bézier曲线的中间控制点是否在曲率临界圆上或圆内;并由此得到构造具有单调曲率的二次h-Bézier曲线的两种算法,通过调节形状参数h可保证曲线具有单调递减或单调递增的曲率。其次,研究两条二次h-Bézier曲线的光滑拼接,基于对二次h-Bézier曲线性质的分析,选择第二条曲线在肩点处与第一条曲线的端点实现拼接,得到G~2拼接的充要条件;讨论参数对拼接曲线形状的影响。最后,构造出同时满足G~2拼接、曲率单调递减(或单调递增)的组合二次h-Bézier曲线。数值实例显示了组合二次h-Bézier曲线的造型优势和灵活性。

Lupaş q-Bézier曲线的离散卷积生成与求值算法

Lupaşq-Bernstein算子是最早提出的有理形式下基于q-整数的q-模拟Bernstein算子。通过Lupaşq-Bernstein基函数的递推关系反向使用金字塔算法,离散卷积生成n次Lupaşq-Bernstein基函数序列。结合离散卷积满足的交换性,针对n次Lupaşq-Bézier曲线推导出其速端曲线及n!种de Casteljau算法。与Bézier曲线de Casteljau算法得到的切点不同,Lupaşq-Bézier曲线的de Casteljau算法得到的曲线上的一点是直线与曲线相交的2个割点之一。针对二次Lupaşq-Bézier曲线,给出了计算左/右割点的充分必要条件,然后通过提出双割点算法,可以同时得到左/右割点。

曲率单调的组合二次Phillips q-Bézier曲线

Phillips q-Bézier曲线是一类包含q-整数的广义Bézier曲线。针对二次Phillips q-Bézier曲线的曲率单调条件,从代数和几何两方面进行了研究,构造出曲率单调的二次Phillips q-Bézier曲线及曲率单调递减的组合二次Phillipsq-Bézier曲线。首先,通过曲线曲率的坐标表示,探究代数形式的曲率单调条件,定义曲率单调包围圆,给出二次Phillips q-Bézier曲线具有单调曲率的几何充要条件。当形状参数q=1时,Phillips q-Bézier曲线退化为经典的Bézier曲线,因此上述曲率单调条件包含经典二次Bézier曲线的结果。其次,讨论二次Phillips q-Bézier曲线间的G^(2)光滑拼接条件及条件中的各个参数对拼接曲线的影响。再次,对于给定首末控制顶点的曲线,选择合适的中间控制顶点,求得使其具有单调曲率时形状参数的取值范围,构造出曲率单调的单条二次Phillips q-Bézier曲线。进而,构造出同时满足G^(2)拼接与曲率单调递减的组合二次Phillips q-Bézier曲线。最后,利用曲率单调递减的组合二次Phillipsq-Bézier曲线,构造出具有包含关系的两圆之间的缓和曲线。数值实例显示了组合二次Phillips q-Bézier曲线的造型优势和灵活性。

广义直觉模糊粗糙集的粒结构

模糊集可以表示为一些模糊粒的并集,粗糙集也可表示成相应模糊粒的并集。本文主要探讨直觉模糊粗糙集的粒结构,直觉模糊粗糙集是在直觉模糊关系下结合了粗糙集和直觉模糊集构造出来的。本文首先在直觉模糊等价关系下定义了两种模糊粒,利用它们构造直觉模糊集的上下近似算子并给出例子。然后首次在相似关系下构造直觉模糊粗糙集的粒结构并探讨其性质,给出相应隶属函数的表达式,证明了利用模糊粒定义的近似算子等价于利用隶属函数定义的近似算子,进一步拓展了直觉模糊粗糙集在粒计算中的应用。