一个四元条件代数不等式的证明——兼擂题(122)解答

本刊2019年第2期刊登了赵忠华老师提供的擂题(122)如下:问题设a、b、c、d>0,且abcd=1,证明:(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥16/3(a+b+c+d-1).本文给出擂题的证明.

错在哪里

题目已知函数f(x)=3^x-b(2≤x≤4)的图象过点(2,1),则F(x)=[f^-1(x)]2-f^-1(x^2)的值域为__.错解由题意得f(2)=3^2-b=1,所以b=2,f(x)=3^x-2.因为函数f(x)的定义域为[2,4],所以2≤f^-1(x)≤4,0≤log3x≤2,又F(x)=[f^-1(x)]^2-f^-1(x^2)=(2+log3x)^2-(2+log3x^2)=(1+log3x)^2+1,所以2≤Fx≤10,故函数Fx的值域为2,10.解答错了!错在哪里?

用舒尔不等式的变形证明一组征解题

《数学通讯》(上半月)自2010年第1期恢复“问题征解”子栏目以来,每期精选适合高中学生的有趣、实用、新颖、灵巧、深浅适度、富有启发性的5道题目进行征解,使其成为启迪思维、开发智力的小智囊.笔者研读了近十年来的征解题,在欣赏优美精巧解答的同时,注意到了供题人经常使用舒尔不等式及其变形来命制问题,本文以此为出发点,用舒尔不等式的一个变形举例说明.

由嵌入不等式生成代数不等式的一种方法

嵌入不等式最早出现于英国数学家Joseph Wolstenholme在其1867年的著作中,因而有时也被称为Wolstenholme不等式.它被公认为是三角形中最重要的不等式之一,还被人们称之为"三角形母不等式",因此可由嵌入不等式生成众多的三角形不等式,代数不等式等.本文从嵌入不等式出发,先导出一个结论,并以此派生出一系列含参的三元代数不等式.

例说一个三元分式不等式的应用

斜率、离心率、切线、定值和最值是圆锥曲线中非常活跃的元素,也是历年高考的热点.高考中与解析几何相关的试题常考常新,新往往只是形式上,本质上有些相通的地方.有心圆锥曲线有如此结构类似的结论,体现了数学概念的简单性、统一性,结构关系的协调性、对称性,蕴含了数学的奇异美.让人赏心悦目,动人心弦.

一道条件不等式的一个优美证法

证明中多次利用条件a＋b＋c=1，特别是从式1→2→3之间的过渡，可谓是此证法中的点睛之处，铺开了证明的道路。

一组征解题的推广

自2010年第1期《数学通讯》上半月刊恢复"问题征解"栏目以来,尤以不等式问题居多.在欣赏这些不等式精彩解答的同时,笔者对其中一部分代数不等式进行探究性推广,发现可以从参数、指数、项数及其混合角度进行推广,并将这些结论整理成文,与读者分享交流.

多角度探求一道二元最值问题

我们知道,不等式是数学中的一类重要的研究对象,也是解决问题的重要工具.在高中数学中,均值不等式是我们学习的重要内容,但在解题的过程中,其变形的技巧往往难以把握.笔者在今年高三练习中遇到这样一道题目,兹介绍如下.

一类对称型不等式的一种证法

对于对称型不等式,比较常见的方法就是构造局部不等式来证明.但在面对不同的不等式问题时,如何来构造局部不等式却是比较难处理的.本文从一类条件为“abed=1”的四元分式型的对称不等式着手,通过引入、控制待定系数,最后将其统一构造出一个熟知的局部不等式来证明.

一道泰国竞赛题的证明及其推广

题目已知正数a、b、c满足abc=1,求证:■.这是2019年泰国数学奥林匹克竞赛的不等式题.题干因式中出现了负号,在约束条件下并不能确保每一因式都为正,这样就需要通过代数变形将其转化证明.因此,去掉负号,是解题的一个关键点.本文给出问题的一种证明,进而给出其系数上的推广.