对一道不等式问题的推广的补充与证明

文[1]给出了数学奥林匹克问题高229题：“已知a,b,c∈R＋,abc=1,求证：

也谈一类求取值范围问题的解法——一道求取值范围题的简解引起的思考

文用例1“实数x、y满足x^2＋xy-2y^2=1，求S=3x^2-y^2的取值范围”说明了文对问题“实数x、y满足Ax^2＋Bxy＋Cy^2=D，D≠0时，求S=ux^2＋vxy＋wy^2的取值范围”的解法的不可靠性，并给出了一种可行解法一三角代换法．本文从立足通法，追求简易的角度出发，根据此例特点，从基本不等式a^2＋b^2≥2ab切入展开探索，得到如下简解：

一组不等式问题的统一简解

《数学教学》数学问题栏目中的问题都富有一定的典型性，它既能吸引读者去欣赏和研究其解法的新颖独特和巧妙构思，又可唤起众多数学爱好者去思考、探求其简便自然的解法，以展现问题的潜在价值．近来笔者对一组数学问题分析后发现，可统一用柯西不等式给以简解．

一道最小值问题的探究历程

问题已知a＋2b=6，则√a2/4＋1＋√b2^＋9的最小值是（）

对一道高考数列不等式的再思考

2014年高考数学课标全国卷Ⅱ理（17）为： 已知数列{an}满足a1=1,an＋1=3an＋1.（Ⅰ）证明{an＋1/2}是等比数列,并求{an}的通项公式;（Ⅱ）证明：1/a1＋1/a2＋…＋1/an〈3/2.对于（Ⅱ）,针对数列{1a/n}的前n项和不能直接求出,

也谈一道高考立几题的解法

2010年高考全国卷I第（12）题为：已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2。

一类解析几何题的统一简解

在解析几何中，常见与圆锥曲线的同一焦点弦的两焦半径的长有关的问题．笔者探索发现，此类问题的多种解法中，从根据圆锥曲线的统一定义求焦半径的长人手最为简便．下面以近几年的一组高考题为例具体说明之．

一类求取值范围问题的解法新探

对下述问题：“实数x、y 满足Ax 2+Bxy+Cy2=D≠0,求S=ax2+bxy+cy2(或S=ax+by)的取值范围”,文[1]通过构造a=b2+c,解不等式a≥c,文[2]、[3]用三角代换,文[4]根据均值不等式a2+b2≥2|ab|,给出了不同解法。认真研读后,针对这些方法的不尽人意之处(详见下文中的说明),笔者根据方法服从题目的原则,从对问题的解法新探中发现,常见的三种情况下可分别用下面方法简单自然解决。

对一道数列不等式证法的商榷

题 求证：1/2-1＋1/2^2-1＋…1/2″-1〈5/3（n∈N＋）.

数学问题与解答

1121.如图1,在△ABC中,AB>AC,△ABC的内切圆■I的半径为r,其中r为给定的正数,BD⊥AI于点D,CE⊥AI于点E.求ID·IE的值.(713100陕西省兴平市教研室吕建恒供题).

注重基本方法 简单自然解题

解题力求简单自然是永恒的主题，注重从基本方法入手，是实现简单自然解题的重要途径．下面以《数学教学》中几个数学问题的简解略作说明，以期抛砖引玉．

一道预赛试题的解法探究

题目设a、b、c为正实数,且满足（a＋b）（b＋c）（c＋a）=1.求证：

对1997年高考(22)题解法的商榷

对１９９７年高考（２２）题解法的商榷邵明宪（河南省方城县教研室４７３２００）１９９７年高考（２２）题为：甲、乙两地相距Ｓ千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度度不得超过ｃ千米／时．已知汽车·每·小·时·的·运·输·成·本（以元为单位）由可变部分和固定部...

确定函数周期不能忽视定义域

如何确定可化为f（x）= Asin ωx,f（x）= Acos ωx,f（x）=Atg ωx, f（x）=Actgωx（其中A≠0,ω】0,x∈MR）的函数的周期,师生常为之困感.对此,笔者认为由周期函数定义确定这类函数的周期,是值得重视的方法.

一组分式不等式的统一证明——从一个不等式的推广的新证谈起

文[1]通过剖析利用添加项后使用均值不等式证明：“已知x、y、z〉1,试证：x3/（y-1）＋y3/（z-1）＋z3/（x-1）≥（81）/4”的过程,得到了确定此类不等式等号成立条件的方法,解决了这种方法证明此类不等式的关键,并依此逐步将该不等式推广为：设λ为正数,x_i〉λ（i=1,2,…,n,n≥2）,k、m是整数,且k≥m＋1≥2,y_1,y_2,…,y_n是x_1,x_2,…,x_n的任意一个排列,

一个求最值问题的简解与推广

《数学通报》2009年第4期刊登的问题1785：“设0≤xi≤1（i=1，2，3，…，”），n∈N，n≥3，且∑i=1^n xi=1.试求f（x1，x2，…，xn）=∑i=1^n xi/1=xi^2的最大值”的解答繁难复杂，不易发现和掌握．笔者立足基本方法，从简单自然解题的角度探究发现，用均值不等式解之，更能凸现问题本质，展示数学的简洁美．

一组数学问题的简便解答

研读近几年来《数学教学》的“数学问题与解答”栏目,发现有些解答很难或复杂的问题,可以从通法视角简便解决.

也谈一组数学问题的解法

研读近年来《数学教学》的“数学问题与解答”栏目，发现有些能恰当使用柯西不等式方便解决的问题，却因未用或视角不当用之而显繁复或难以为之．详见以下各例．