计算机辅助几何设计中极小曲面造型的研究进展

极小曲面在工程领域有着广泛应用,因此将其引入计算机辅助几何设计领域具有重要意义.详细概述了近年来计算机辅助几何设计领域中极小曲面造型的研究工作,按照造型方法的不同,可将现有工作分为精确造型方法和逼近造型方法两类.精确造型方法主要包括两个部分:某些特殊极小曲面的控制网格表示与构造;等温参数多项式极小曲面的挖掘与性质.逼近造型方法主要包括3个部分:基于数值计算的逼近方法;基于线性偏微分方程的逼近方法;基于能量函数最优化的逼近方法.最后对这些方法进行了分析比较,并讨论了极小曲面造型中有待进一步解决的问题.

半静态回插细分方法

根据传统静态细分方法的不足,提出一类新颖的半静态回插细分方法.结合统一的细分框架、半静态控制和回插补偿三者的优势,基于细分算子的观点,分别给出了曲线和曲面情况的细分规则,并对其极限性质作出讨论.按照该方法,可以在不改变控制顶点的情况下,构造出从逼近到插值控制顶点的一系列曲线曲面.同时,引入网格顶点和连接边的方向标注,以生成具有整体方向性的光顺曲面.由于该方法基于符号表示,因此易于实现与扩展,适合于计算机动画造型和工业原型设计.

代数三角混合的样条曲线

B样条曲线能对多项式参数曲线提供有效的控制,但是它不能表示一些超越曲线,因此,很多文献提供了新的模型来构造曲线,但是这些模型要么只能表示低阶曲线,要么不能表示圆的渐开线和圆锥螺线.对此,在空间Ωk=span{cost,sint,tcost,tsint,1,t,t2,…,tk-1}(k≥5)中构造一类曲线,称为节点序列T上的代数三角混合的k阶样条曲线(代数三角样条曲线),该类曲线具有很多与B样条曲线类似的性质,利用这些性质可以通过嵌入新节点对曲线进行逼近,并且可以精确表示圆锥螺线、圆的渐开线等超越曲线.

实时数字浮雕建模

针对现有的数字浮雕生成方法速度较慢且浮雕细节不够丰富的缺点,提出了新的高细节实时可交互地生成数字浮雕的方法.首先提出了一种高细节动态范围压缩函数,并在理论上证明了它比目前的压缩函数能更好地保持细节;然后基于该函数建立了一个实时数字浮雕建模系统,其将建模、交互和渲染流程放到GPU上实现,并利用多目标渲染提高帧缓存的利用率,获得了实时建模速度.系统中还设计了一个交互控制界面,使用户能实时地调整刻画浮雕的各种参数.实验结果证明,该方法能快速、便捷地制作出比现有方法具有更高细节特征的数字浮雕.

OR插值曲线构造及Bézier曲线逼近

根据平面多项式曲线的等距有理参数化条件,构造了具有不同连续阶的OR插值曲线.由于OR曲线可通过恰当的参数变换产生有理形式的等距线,因此根据给定B啨zier曲线离散端点条件,可构造特定连续阶的OR样条曲线来逼近该Bézier曲线,而将OR样条曲线的精确等距线作为B啨zier曲线的逼近等距线.

改变B样条曲面与NURBS曲面的节点

通过改变k×h阶B样条曲面和NURBS(Non UniformRationalB spline)曲面的若干节点,分别产生一个B样条曲面族和NURBS曲面族,并指出:曲面族的包络是用相同控制顶点定义的(k -a)×(h -b)阶B样条曲面和NURBS曲面,其中a ,b分别是两个方向上所改变的节点的重数 对于B样条曲面来说,曲面族与其包络的任意阶相同偏微分之间只相差一个因子。

有理曲面的区间隐式化

利用一个低阶多项式区间隐式曲面来包围所给的参数式有理曲面,并构造了一些关于区间隐式曲面厚度和微分张量的目标函数.在最小化这些目标函数的条件下,该区间隐式曲面的中心曲面可以近似地逼近有理曲面,其逼近的误差可以利用区间隐式曲面的区间宽度进行估计.最后提供了具体的算法和一些实例.

有理曲线的均匀区间隐式化

参数式曲线与隐式曲线是CAGD中常用的两种曲线形式,因此需要建立起二者之间相互转换的体制.长期以来,许多工作都集中在利用结式思想,将一个参数式曲线精确转化为一个隐式曲线上,而事实上用隐式曲线精确表示一条参数式曲线不仅非常麻烦,而且往往也没有必要.故此提出了参数式有理曲线均匀区间隐式化的一种新方法,利用区间算术和空间重心坐标的定义,可以用一个低阶区间多项式隐式曲线来逼近所给的参数式有理曲线,同时使一些目标函数最小化,达到用隐式多项式曲线来逼近参数式有理曲线的很好效果,并提供了一些算法和实例.

阿基米德螺线的拟Bernstein基表示

讨论了用4阶拟Bernstein基表示阿基米德螺线的充要条件,利用该充要条件可以得到用4阶拟Bernstein基表示的阿基米德螺线的控制顶点,从而可以方便地表示阿基米德螺线,并且有明显的几何意义.利用阿基米德螺线段和圆弧来构造凸轮,实现了凸轮的多边形控制.

ωB样条

提出一种带可变频率的新的样条,称之为ωB样条.它不仅统一了B样条、三角多项式B样条以及双曲多项式B样条,而且能表示更多新的样条模型.ωB样条基定义在由{cosωt,sinωt,1,t,…,tn,…}所张成的空间上,其中ω为频率序列,n为任意非负整数.ωB样条保有B样条的所有优良性质,并且还具有其他有利于自由曲线曲面造型的独特性质.