数学奥林匹克问题

初213 如图1，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．求证：EG〈EF．

有关三角形欧拉线的不等式

[问题297．2]已知△ABC满足A〈B=60°〈C,BC=a，CA=b，AB=c，O为外心，H为垂心，其欧拉线OH所在直线交△ABC的周界于两点P，Q，且PQ=d，W=8d^2-a^2-b^2-c^2。求证： （1）若C〈90°，则W〉0；（2）若C=90°，则W=0； （3）若C〉90°，则W〈0。

连l边的n点集含三角形对的个数

[问题300．3]平面上有n（n≥3）个点。任三点不共线。它们之间连有f（f≥n^2／4）条线段．如果两个三角形有一条公共边。则称为一个（无序）三角形对．设这l条线段构成的三角形对的个数为T,求证：T≥l[4l-n^2）（4l-n^2-n）／（2n^2）．