Weitzenböck不等式的新加强

Weitzenböck不等式是一个经典的几何不等式,迄今已有百余年的历史,关于它的各种证法、加强和推广的研究一直是初等数学研究和数学竞赛研究的热点,本文给出了这个著名不等式的几个新加强.

挖掘隐含结论 提升解题能力

美国著名数学家和数学教育家波利亚在《数学的发现》一书中提出了“教师十诫”，其中第八诫是：“要找出手边题目中那些可能对解后来题目有用的特征——即设法揭示出隐含在眼前具体情形中的一般模型”．下面就从一道典型中考题的解法人手，谈谈如何挖掘隐含在题目的具体解法中的一般结论（不妨称之为隐含结论），然后应用这些结论解决几道与之相关的中考题，从而实现“抓住一道题，带出一串题”．

巧构相似图形 妙证勾股定理

勾股定理（在国外又称毕达哥拉斯定理），是几何学乃至整个数学中最为著名的一条定理．勾股定理的证明曾引起古今中外许多人的兴趣，在E．S．Loomis的《毕达哥拉斯命题》第二版（1940年）中，搜集了这个定理的证明方法多达370种．我国古代数学家对勾股定理的证明多采用面积法，在现行各种版本的新教材中也大多采用面积证法．但勾股定理的最简单证法是利用相似三角形的知识来证明（见浙教版老教材第五册A第136页）：

活用数学史—让数学课更精彩

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《课程标准》）中强调：“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验”．在新课程改革中，数学史被看作是理解和学习数学的一种有效方法．

Steiner─Lehmus定理的代数证法

每个初学平面几何的学生都曾证明过这样一个十分简单的几何命题“等腰三角形的两个底角的平分线相等”，这个命题早在2000多年前欧几里得的《几何原本》中就已经出现．然而令人惊讶的是它的逆命题“如果一个三角形的两个内角的平分线相等，那么这个三角形一定是等腰三角形”，却要迟至1840年才由雷米欧斯（Le-hmus）给瑞士著名数学家斯图姆（Sturm）的一封信中提出来，信中请求给出这个命题的纯几何证明，斯图姆竟然一下子解决不了，于是就在数学界广泛地征求解答，

与加权费马和有关的一个不等式

在1640年前后，法国数学家费马（Fermat，1601～1665）向意大利物理学家托里茨利（Torricelli，1608～1647）提出了这样一个问题：已知平面上不共线的三点A、日B、C，试在该平面上确定一点P，使它到这三点的距离之和PA＋PB＋PC最小．

浙教版初中数学实验教材的使用与建议

浙教版义务教育课程标准实验教科书（以下简称新教材）是在原义务教育初级中学课本（试用）的基础上，以教育部制订的《全日制义务教育数学课程标准》（实验稿）为指导，力图体现现代教育的新思想和新理念，既考虑到义务教育阶段数学课程的基础性、普及性和发展性，又使教师易教学生易学。可以说新教材的编写者在传统与现代、教师与学生、基础知识与创新能力等各方面找到了一个平衡点，因而所编写的新教材受到广大师生的普遍欢迎，被认为是同类义务教育课程标准实验教科书中的精品．但是笔者在使用新教材过程中产生了一些问题与困惑，并由此形成了建议．

欧拉不等式的推广

<正>1765年,大数学家欧拉(L.Euler,1707~1783)建立了一个关于△ABC的外接圆半径R与内切圆半径r之间关系的著名不等式:R≥2r,当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.由于该不等式具有简单而不平凡的特点,所以至今仍然在几何不等式领域里保持着高水平的地位,关于它的各种加强和推广的研究一直是几何不等式研究的热点,笔者在研究三角形内部任意一点到各边的距离时得到了欧拉不等式的如下推广.定理1设P是△ABC内的任意一点,

一个几何不等式定理及其若干推论

定理在△ABC中，设BC=a，AC=b，AB=c，s表示△ABC的半周长，△表示△ABC的面积，贝（s-a）^2（s-b）^2＋（s-b）^2（s—c）^2＋（s-c）^2（s-a）^2≥△^2①．当且仅当△ABC为正三角形时等号成立．

关于三角形的欧拉比的一个不等式

三角形的外接圆半径R与内切圆直径2r的比R/2r称为三角形的欧拉比，由欧拉不等式R≥2r可知，三角形的欧拉剧R/2r不小于1．本文利用三角形的基本元素（边长和面积）给出一个关于三角形的欧拉比的优美不等式．

一组优美的条件恒等式

若a＋b＋c=0，则a^3＋b^3＋c^3=3abc，这是大家非常熟悉的一个优美恒等式．在条件a＋b＋C=0下进一步探究a^n＋b^n＋c^n（n〉14）还可以获得一些更优美的恒等式，现将探究方法、过程以及所得结论叙述如下，供大家赏析．

一个优美的恒等式及应用

命题1设a，b，c分别为△ABC的三边长，证明：（b＋c-a）（c＋a-b）（a＋b-c）≤abc。

几个常用三角不等式的加强

在△ABC中，cosAcosBcosC≤1/8是一个常用的三角不等式，现给出它的如下加强：命题1设△ABC的三边长分别为a，b，c，则cosAcosBcosC≤abc/（a＋b）（b＋c）（c＋a）l≤1/8.

算术-几何平均不等式的另一多重隔离

设a1，a2，…，an∈R^＋，n≥2．文[1]给出了n元算术-几何平均不等式的（n-2）重加细隔离：

关联五个三角形外接圆半径的一个不等式

定理设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点,并且AD、BE、CF相交于一点,若记△ABC、△DEF、△AEF、△BDF、△CDE的外接圆半径分别为R、R0、R1、R2和R3,则R≥2（R1R2R3/R0）^（1/2）.等号当且仅当D、E、F分别为BC、CA、AB的中点时成立.证明：如图.

等腰三角形的一个性质及其应用

等腰三角形是一种常见的几何图形，它的一些独特性质已被大家所熟知，下面给出等腰三角形的一个新性质．

巧构三角形 妙证不等式

1993年，湖南师范大学匡继昌教授在《常用不等式》（第2版）一书的附录中将该题列为100个未解决的问题（问题42），从而引起了广大数学教师的研究兴趣．迄今为止，虽有多种证法散见于各种数学期刊，但都较为复杂．本文通过构造三角形给出五种仅用到初中数学知识的证法，这也许是该题的最简单证法．

关于三角形的欧拉比的一个不等式

三角形的外接圆半径尺与内切圆直径2r的比R/2r称为三角形的欧拉比，由著名的欧拉不等式R≥2r可知，三角形的欧拉比R/2r不小于1．本文利用三角形的基本元素（边长和面积）给出一个估计三角形的欧拉比的优美不等式．

构造矩形解题

文1让人感受到构造法解题之妙．当遇到形如√a^2＋b^2的式子，若联想到边长为a，b的矩形的对角线正是√a^2＋b^2，从而去构造矩形解题，有时比构造直角三角形解题更简单，且可以一图多用．