用方程解平几题

笛卡尔在“思维的法则”专论中,曾提出运用方程的观点解世间各种类型的问题,他设计的思维模式是: 第一步:把要解决的问题转化为数学题; 第二步:把数学问题转化为代数问题第三步:把代数问题归结为求解方程(组)或研究其性质。笛卡尔寻找解决所有问题的万能法——方程法,在他本人的生命史上没有得到实现,其实这种万能之法显然是找不到的。他所设计的模式虽然不能广泛应用于一般情况,但他的思维品质确实不凡。他的思想在中学数学教学领域里确实有着广泛的应用。下面仅以平几题为例,说明方程法的应用。例1.AC。

每期一题

题△ABC中,一个以O为圆心的圆经过顶点A及C,又和线段AB及线段BC分别交于点K及N,K与N不同。△ABC和△BNK的外接圆恰相交于B和另一点M。求证;∠BMO=90°。(第26届国际数学奥林匹克试题第七题。本刊1986年第3期载有吴雪庐同志用位似变换证明这题的两种方法,又《科学画报》1986年第1期上载有两种方法。这里再介绍与上述方法不同的八种方法,以供参考。编者) 证法一如图1,延长BM至H。

待定点及其应用

如果命题成立的条件,依赖于已知线段上某特定点的存在,那么这个被确定的点称为待定点.显然随着待定点的确立,相应的辅助线就会创生,证题也就成为举手之劳了.今略举几例,说明待定点的用场.

正确灵活运用判别式解题

实系数一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的判别式△=b^2-4ac,在解题中有着十分广泛的应用。对于判别式的应用,目前已有较多的文章对此进行了论述,本文就如何正确灵活应用判别式解决某些问题举例加以说明并略作分析。判别式的应用,主要依据下述定理及其一些直接推论。实系数一元二次方程f(x)=ax^2+bx+c=0(a≠0)中,令△=b^2-4ac,则有ⅰ) △>0(?)f(x)=0有两个不相等实根。ⅱ) △=0(?)f(x)=0有两个相等实根。ⅲ) △<0(?)f(x)=0有两个共轭虚根。运用判别式解题,除对于实系数二次式以外。