计算三角形五心坐标的统一公式

△A1A2A3有五种心:重心,内心,旁心,垂心,外心。本文建立计算五心坐标的统一公式。定理△A1A2A3的顶点Ai（xi,yi）,i=1,2,3。如图示:A1F/FA2=λ1,A2D/DA3=λ2,A3E/EA1=λ3,A2E∩A3F=A′1,A3F∩A2E=A′3。点A″i（a′i,b′i）则 a′1=(xi+λixi+1+λiλi+1xi+2)/(1+λi+λiλi+1) b′i=(yi+λiyi+1+λiλi+1yi+2)/(1+λ-i+λiλi+1)当 i+k=m≥4时,规定i+k=m-3,i=1,2,3,k=1,2。证明对于△A2EA3,据梅涅劳（Menelaus）定理有A1E/A1A3·A3D/DA2·A2A′/A′2E=1 则 A2A′2/A′2E=（1+λ3）λ2 同理A2A′3/A′3F=（1+λ1）λ3,A1A′1/A′1D=（1+λ2）λ1

95年高考理科第26题的两种简捷解法及规律

95年高考理科第26题是: “26.已知椭圆C:x^2/24+y^2/16=1直线l:x/12+y/8=1。P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|~2。当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。”

三角形内点到边的距离的两个不等的再加强

本文约定 △ABC的三内角及其所对的边长,内切圆半径,外接圆半径,半周长,面积分别记为A、B、C、a、b、c、r、R、s、△,△ABC的内部任一点到其三边BC、CA、AB的距离分别是r1、r2、r3。

r_a/(r_br_c)+r_b/(r_cr_a)+r_c/(r_ar_b)≥2/r-2/R的简证

设R,r,r_a,r_b,r_c分别为△ABC的外接圆,内切圆,傍切圆半径。

特殊·猜想·证明

许多数学问题,常常研究它的特殊情况,这样比研究一般情况容易。以特殊情况的结论作为猜想,证明它适合一般情况,这是解题中的一种重要思考方法。例1 求Sn=arc tg1/2+arc tg1/（2·22）+ arc tg 1/2·32+…+arc tg 1/2·n2的和。解:特殊情况: 当n=1时,s1=arc tg 1/2, 当n=2时,s2=arc tg 1/2+arc tg

在特定坐标系中证明若干不等式

如图,△ABC内切圆的圆心为I,以点D作为坐标原点,DI、DC所在直线分别为纵轴、横轴建立平面直角坐标系D-xy。在坐标系D-xy中,不失一般,设△ABC的内切圆半径r=1,则I(0,1)。为了方便,约定用z表示1/2 z的余切,即z=ctgz/2。在△ABC中,

应用三角形边长公式a=r(ctg(■/2)+ctg( /2)证明数学竞赛题中一类三角不等式

△ABC的边长、内角、内切圆半径,外接圆半径,面积分别记作a、b、c、A,B,C,r,R,△.为了方便书写,本文约定:用X表示1/2X的余切,即X=ctgX,那么在△ABC中: A=ctg(A/2),B=ctg(B/2),C=ctg(C/2).后文常用的等式:

一个代数式的最小值的三角求法

1988年第22届《（前）全苏中学生数学奥林匹克竞赛》10年级第2题: 设x,y,z是正数,且x2+y2+z2=1,试求如下表达式的最小值。 S=（yz）/x+（zx）/y+（xy）/z。(见数学奥林匹克题库编译小组《（前）苏联中学生数学竞赛题解》P86472。新蕾出版社1991年)

凸正七边形的一个充要条件

命题 A1、A2、A3、A4和自然数n分别是凸正n（n≥4）边形顺次相邻的四个顶点和边数,那么。

应用复数知识证明一赛题

试题:△ABC与△KMT（顶点的字母均依逆时针方向标注）为同一平面上的正三角形,且有。证明,线段CM与AT相垂直,并且CM:AT=31/2。（第19届全俄数学奥林匹克第三轮竞赛试题） 本文应用复数知识给出试题的简单证明: 如图,AB∩TK=O,以点O作为原点,过点O平行于（?）的直线作为实轴建立复平面O-xy。 ∴AKBT为平行四边形。设B（a,b）,T（c,d）,则B,T关于O点的对称点A（-a.-b）,K（-c,-d）。

一道IMO预选题的加强

第34届IMO预选题2(加拿大提供): 设ΔABC的外接圆半径R=1,内切圆半径为r,它的垂足三角形A′B′C′的内切圆半径为ρ.求证:ρ≤1-(1/3)(1+r)~2。

三角形与其一个同内心有关的内接三角形面积比的不等式

如图,设a、b、c、p、R、r分别表示△ABC的边、半周长、外接圆与内切圆半径,I为内心。

巧用几何性质简化解析几何运算

解析几何是高考数学的重点,也是难点.解析几何题的解题思路有一定的规律性,但是运算过程往往比较繁杂.考生如果对圆锥曲线的几何性质理解得不够深刻,对平面几何图形的几何性质运用得不够熟练,那么求解解析几何题就会特别困难.本文从几何性质入手,举例说明如何巧用几何性质简化解析几何运算。