数学要按照数学上有意义的方式去教

§1 引言 什么是数学?应该怎样教数学?应该怎样学数学?它们之间有何关系?这是每个教数学的教师与每个修习数学的学生都经常必须要深入思考的问题。 本文作者根据自己在大学开设实变函数,拓扑学与泛函分析等十门基础课的教学经验,形成了一个强烈的主张,即教授数学的方法与学习数学的方法都要受数学哲学的影响,数学要按照数学上有意义的且又为广大学生所乐于接受的新颖方式去教。本文试图对这个问题的几个方面展开讨论。

数学教学与创造性思维

数学教学的目的,是使学生学好从事社会主义现代化建设和进一步学习现代科学技术所必须的数学基础知识和基本技能,使学生具有解决和处理各种数学问题的能力。科技要进步,社会要发展,时代正在呼唤着创造型人才。因此,我们的数学教学要特别重视培养学生的创造性,使学生善于进行创造性思维。

有理函数展为部分分式的罗朗系数法

在很多情形下,我们需要将有理函数表示成部分分式的形式。例如,求一个有理函数的不定积分,求拉普拉斯变换下的原函数问题,等等。而要将一个有理函数展为部分分式,一般常用待定系数法。为了确定待定系数,往往需要求解关于待定系数的线性代数方程组。 在这里,将从解析函数在孤立奇点的罗朗展式这一概念出发,得到一种用罗朗展式的负幂项的系数来作为待定系数的方法,不妨称之为‘有理函数展为部分分式的罗朗系数法’。

用矩阵求递推数列的通项公式

本文试图用矩阵方法求几种递推数列的通项公式。

关于不定积分的定义问题

这个问题似乎不成问题,同此,笔者尽管对全国大部分教材,不曾苟同,也只好漠然视之,然而纯系偶然,于1987年12月23日晚11点,在观看电视节目时,恰巧碰上播讲《高等数学》关于不定积分一节,于是转移了一下兴奋中心,恭听起电视课来,不听则已,一听就不能不有本文了。 电视课教者在讲述不定积分定义的同时。

连续映射的拓扑度

本文用同调群的理论研究了几维球面S^n到自身的连续映射的拓扑度,局部拓扑度的主要性质以及拓扑度在研究同伦映射,向量场,不动点问题,非线性方程f(Z)=w的解的个数,代数基本定理的证明等诸方面的应用。

向量值函数

本文主要是将实可测函数,实值勒贝格积分推广到向量值函数,并且给出一些与实函数中相类似的命题。 一、函数与连续 定义1.1 集ER^n到R^m的映射y=f(k)称为向量值函数。记 f:E→R^m(ER^u) 向量值函数可用m个n元的实函数解析地表出:

在解题中培养学生思维能力

数学教育的任务之一,就是培养和提高学生的思维能力,发展学生智力。我们知道,掌握知识必须有相应的思维能力的发展作保证,而学生思维能力的提高又是在掌握知识的过程中逐步实现的。因此,作为数学教师,既要认真地向学生传授知识,又要善于开拓学生的思维。下面是笔者在初等数学习题教学中培养学生思维能力的一点体会。

简述Rolle、Lagrange、Cauchy三定理及其应用

导数是研究函数性质的重要工具,它需要建立在微分学的基本定理,即Rolle,Legrange,Cauchy三定理的基础之上,这些定理,是利用导数的局部性研究函数整体性的重要工具,因此,它们是数学分析中十分重要的定理,许多高校在招收研究生中考了这方面的题,国际数学赛赛也如此,但由于教学时间等各方面的因素,各种分析教材都不可能说得很多很深,故不能适应形势和冒尖学生的要求,为此,本文将在各种常见分析教材的基础之上,予以适当引伸。

投影算子的某些几何性质及应用

本文在获得关于投影算子的某些几何性质后,在[3]的基础上给出了关于两个投影算子具有生成位置的定理。

一类无穷粒子系统的马氏生成元的构造

§1 引言 众所周知,相互作用粒子系统实质上是粒子的某个构形空间上的连续时间马氏过程,这些过程由发生转移的无穷小速率决定。一般来讲,系统中有无穷多个粒子,且在任何有限时区内粒子中有无穷多个的相互作用发生转移,而单个粒子的转移速率可以依赖整个构形;因而,粒子的局部力学结构是否以唯一的方式决定过程并不很清楚。从而关于过程的唯一存在性问题就显得特别重要了。

Vilenkin群上Fourier级数的收敛性

本文证明了任意Vilenkin群的某些结果。这些结果是[2]中相应结果的推广。

常用排序程序算法及分析(一)

排序(Sorting)就是对一串杂乱无章的数据通过某种方法,使其数值按一定顺序排列起来。它是计林机软件工程中很重要的一部分,是计算机科学中一个重要的研究课题。在各类软件工程中,需要各种各样的排序方法,以便快速有效地对一批数据排序分类,这对设计应用管理程序及数据管理程序有着举足轻重的关系。不少计算机工作者为了提高计算机工作效率研究出更有效的排序方法,正致力于这方面的工作。

圆内接四边形的一组命题

有关三角形的命题,人们十分熟悉,并且由已知三角形的三边,推导出了三角线中其他一些线段,角和面积的计算公式。对于圆内接四边形,虽然人们也有一些认识,比如托勒密定理等。但是,对于圆内接四边形的其他一些性质,还有待我们去进一步探究。本文将给出圆内接四边形的一组命题,作为对托勒密定理的补充。 设圆内接四边形ABCD的四条边的长是AB=a,BC=b,CD=c,DA=d。

有界线性算子空间

在Banach空间E上定义且取值在其内的有界线性算子全体B(E)按通常定义的范数、加法、数乘、乘法是一个Banach代数,这在一般的泛函教材中都已提及。本文在继此的基础上继续研究B(E)的一些特殊性质,从中可看到有界线性算子全体B(E)良好的数学结构。

多项式f(x)=sum from i=0 to n(x^i)在Q上的可约性初探

在有理数域Q上的多项式,由艾轰斯坦因判别法证明了分园多项式xp-1+xp-2+…+x+1（P为素数）在Q上不可约,我们自然会想到一般的f（x）=xi=xn+xn-1+…+x+1的可约性,这里有两个问题值得研究:（1）是否只有当f（x）为分圆多项式时才不可约?（2）当f（x）可约时,如何在Q上分解为不可约因式之积;关于问题（1）我们首先引入下面的命题。

论实变函数教学中的类比方法

本文根据作者在益阳师专数学科为五届学生讲授实变函数的经验,总结了讲授实变函数的类比方法及其基本操作技术。这种操作技术提高了学生的智力参与度,较好地解决了学生中普遍存在的实变函数课的“三难”(课难听,书难看,题难做)问题,有利于深入理解与切实掌握在同一个框架n维Euclid空间R^n中的数学分析与实变函数。

多项式最大公因式的一种求法

要求f（x）与g（x）的最大公因式,只需构造出一个φ: 有（f（x）,g（x））—（k（x）,0）=k（x） 关键是在某个φ作用下求出k（x）令:f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a0 （an≠0） g（x）=bmxm+bm-1xm-1+…+b0 （bm≠0）

立方体型难题的代数解法

本文论述了立方体型难题的基本概念与算法,试图用代数的方法阐明这些算法及其应用。

相平面法在物理学中的应用

本文从常微分方程的应用角度,用相平面方法处理运动学中的两个向题。在这里,数学中的直观形象的几何图形与物理学中的鲜明而深刻的运动性质融为一体,旨在体现数理结合的必要性与优越性。