重庆市第三届中学生数学竞赛试卷简析

第一题出乎命题时的预料,比事先估计的难。难在二元二次方程组Ⅰ不属于常见的特殊类型,难在论证交点都在第一、三象限的角平分线上并非十分容易。这无形中提高了本套题目的起点。但仍有部分同学能够灵活运用消元、降次的基本思想,正确运用同解原理,化方程组Ⅰ为它的同解方程组:Ⅱ和Ⅲ,并运用实根判别和交点概念,正确地证明了本题。试卷中的主要问题是:

重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax^2+c和x=ay^2+c,其中,a、c为实数且-(3/4)<ac≤1/4。求证:此两条抛物线必有交点,且交点都在第一、三象限的角平分线上。证明:此两抛物线的交点坐标是方程组Ⅰ的解。 (1)-(2)得y-x=a(x^2-y^2);即(x-y)[a(x+y)+1]=0。方程组Ⅰ化为它的同解方程组:Ⅱ和Ⅲ。解Ⅱ,消去y得ax^2-x+c=0。由条件ac≤1/4得△=(-1)~2-4ac≥0,故方程组Ⅱ有实数解,且实数解都适合方程x=y。