非中心差商与导数

我们曾经证明了这样的结果:若 f(x)在原点某邻域内有定义且在原点可微,那么中心差商收敛,即极限f(h)-f(-h)/2h存在且等于 f′(0),但是一般地说反之不真。f(x)=|x|就是一个反例。关于非中心差商情况如何呢?例如,极限f(h)-f(-2h)/3h (1)的存在性能导出 f 在原点可微吗?为避免麻烦,我们必须假定 f 在原点连续。注意函数 f(x)