有限域上完全对称多项式零点的新下界

有限域上多项式的零点计数问题是算术代数几何的核心问题之一,本文考虑有限域Fq上完全对称多项式的零点问题.主要结果如下:设h(x1,…,xk)是有限域Fq上一个m次完全对称多项式(k≥3,1≤m≤q-2):(1)若q为奇数,则h(x1,…,xk)在Fqk中至少有[(q-1)/(m+1)]/(q-[(q-1)/(m+1)])(q-m-1)q^(k-2)个零点;(2)若q为偶数,且k≥4,则h(x1,…,xk)在Fqk中至少有[(q-1)/(m+1)]/(q-[(q-1)/(m+1)])(q-(m+1)/2)(q-1)q^(k-3)个零点.注意到,当m比较小的时候,上述新的下界改进了已有下界[4,定理1.4]和[3,定理1.2](见本文结论1.1和1.2)大约q2/6m倍.