对一个三角形不等式的再探

2009年8期《数学通报》中第1804号问题为:△ABC的半周长为p,三边长为a、b、c,外径为R,内径为r,求证:3R/2r≤a/b+c-a+b/c+a-b+c/a+b-c≤2R/r-2r/R.

与直角三角形内心有关的一个性质

我们知道经过三角形的内心,平行于三角形一边的直线截其它两边,所截得的线段长等于这两个交点到第三边两个端点的距离之和.经过对直角三角形研究研究,笔者现已得到:定理:经过直角三角形的内心,与斜边垂直的直线与另一直角边相交,所截得的线段长等于这两个交点到第三边两个端点的距离之和.

旁心三角形的一个面积公式

定理 设△ABC三边为a,b,c,a＋b＋c=2p，外接圆半径为R．则由三个旁心构成的三角形的面积S0=2pR．

圆锥侧、表面积与体积间的一个等式

文[1]已给出 （1）4M^6c≥2187π^2V^4（ h=√2r）； （2）M^3c≥72πV^2．

两个常用不等式的下界估计

匡继昌教授在编著的《常用不等式》一书中,收录了下面的两个几何不等式:Bilcev不等式:4∑1/a-∑a/bc≤5/R+2/r/√3,Guba不等式:∑b-a/p-a≤0,其中a、b、c为△ABC的三边长,p为半周长,R为外径,r为内径,∑表示循环和.经过探讨,现已得到它们的下界估计.

一个有趣的三角不等式

经过探讨，笔者现已得到： 命题 在△ABC中，求证：cosA cos^2B/2cos^3C/3≤27/64．

周界中点三角形两个面积等式

设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点，如图所示，△ABC、△AEF、△BFD、△CDE、△DEF面积分别记为△、△A、△B、△C、△0，则有△≥4△0，△^3≥64△A△B△C．

两个几何等式

文[1]中收入三角形旁切圆半径（ra,rb,rc）和高（ha,hb,hc）间的三个不等式∑hahb≤∑rarb；∑ ha＋hb/ra＋rb；∑ ha＋hb/ra=rb≤3；∏ hb＋hc/ra＋ha≤1.我们把它们“加强”为等式：

关联三角形外径与面积之间的几何性质

文[1]、文[2]分别给出了垂足三角形、周界中点三角形的外接圆半径与该三角形面积之间的几何不等式,在此基础上,经过探讨,笔者再给出这两个几何不等式的统一形式.

两个常用不等式的上界估计

匡继昌教授编著的《常用不等式》一书中，收录了下面的两个不等式：（1）R≥2r＋1/8R∑（b-c）^2（2）Bager不等式：∑a^2/lblc≥4其中，△ABC的三边长为a、b、c,外接圆半径为R，内切圆半径为r,半周长为P，la、lb、lc为三边上的中线长，∑表示循环和。

三角形边长与内外径之间的三个不等式

本文约定:△ABC的三边长为a、b、c,外径为R,内径为r,半周长为p,Σ表示循环和,Π表示循环积.经过对三角形边长与内、外径之间关系的研究。

对两个与旁径有关几何不等式的再探

匡继昌教授在《常用不等式》一书中，收录了下面的两个几何不等式：

椭圆两条平行弦的一个有趣性质

受文[1]的启发，笔者对椭圆两条平行弦进行研究，得到：定理：AB为过椭圆x^2/a2＋y^2/b^2=1（a〉b〉0）焦点F的弦，若过椭圆中心O的半弦OC//AB,则｜AB｜^2/4｜OC｜^2＋｜OC｜^2/b^2=2.

三角形中线与旁径之间的几何性质

笔者对三角形中线与旁径之间关系的研究,得到了下面的一个有趣的几何性质.定理:设△ABC的内切圆半径为r,三边BC、CA,AB上的中线长分别为m_(a)、m_(b)、m_(c).

直角三角形一个性质的三种证法

沪科版初中数学教材P137的一个定理:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.已知如图1在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°求证:BC=1/2AB.

三角形中线与高之间的三个几何不等式

本文约定:△ABC的三边长分别为a,b,c,半周长为p,面积为S,外径为R,内径为r,三边上的高依次为h_(a)、h_(b)、h_(c),三边上的中线长依次为m_(a)、m_(b)、m_(c),Σ表示循环和,Π循环积.