三类三角形中的蝴蝶问题

问题1 如图1，过△ABC内的一点P，作DE∥BC，分别与AB、AC交于点D、E；作FG∥AC，分别与AB、BC交于点F、G；作HK∥AB，分别与AC、BC交于点H、K，FK、HG分别与DE交于点M、N．

一道课外练习题的推广及联想

中学生数学2009年第7期（月下）课外练习初三年级第3题是： 如图1，P是◎O中的弦AB上的任意一点，过P点任作两条弦CD和EF，CE、DF分别交AB于点M、N．

锐角三角形外心的一个性质

性质如图，设O为锐角△ABC的外心，AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F，EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D’、E＇、F＇,

等腰三角形的形外“三线合一”

初中教材介绍了等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线“三线合一”，这里称为形内“三线合一”；下面给出另外的“三线合一”，即：等腰三角形过顶点的外角平分线、过顶点的外接圆切线、过顶点平行于底边的直线“三线合一”，本文称为形外“三线合一”.

等对角四边形的几个有趣性质

贵刊中学生数学2010年9月下刊登的侯明辉老师的文章，文中介绍了等对角四边形的一个性质，并利用该性质给出蝴蝶定理的一个简捷证明．其实等对角四边形还有几个有趣的性质，笔者与读者共赏．

赏析三角形的两条性质

性质1如图1，△ABC中，在CA的延长线上取一点M，使MC=AB，在BA上取一点N，

妙证单等对边四边形的一个性质

首先给出定义：有一组对边相等,另一组对边不等也不平行的四边形,叫做单等对边四边形.性质如图,在单等对边四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是AD、BC的中点,直线EF与BA的延长线、CD的延长线分别交于点G、H,则AG=DH.

三角形中的蝴蝶问题的拓展

命题1 如图1，过△ABC内的一点P，引DE//BC，FG//AC，HK//AB，GK与HF分别交DE于点M、N。

最大内角不等于120°的三角形性质

费马点以三角形各边为边长向形外作等边三角形，则三个等边三角形的外接圆共点．该点称为三角形的费马点． 显然，最大内角小于120°的三角形的费马点在形内，最大内角大于120°的三角形的费马点在形外，最大内角等于120°的三角形的费马点是120°角的顶点．本文对最大内角等于120°的三角形不作介绍了．

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB〉AC〉BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH＋∠OCH=∠OBH. 证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F, ∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆.

三角形内心的一个性质及推广

性质如图1，点P是△ABC的内心，过点P垂直于AP的直线分别交AB、

妙作三角形周长平分线一法

题目 把三角形的周长平均分成相等两部分的直线称为三角形的“周长平分线”．设P为△ABC边上的任意一点，过这一点P能否作一条△ABC的周长平分线？若能，请写出作法；若不能，请说明理由．

圆内接四边形的几个有趣性质

性质1 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，一组对边AD、BC相交于点P，M，N分别是AB、CD的中点，PM分别交CD、AC、BD于点M1、F、F，PN的延长线分别交AC、BD、AB于点G、H、N。，则（1）∠APN1=∠BPM，（2）N、N1、M、M1四边和G、H、F、E四点分别共圆．

边与边上中线夹角为45°的三角形的性质

性质1如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且＜ADC＝45°,则：S△ABC＝1/4（AB^2－AC^2）．

三角形中一个有趣的巧合点

题目P是△ABC所在平面内的任意一点，以PA、PB为边作平行四边形PAC’B，所以PA、

两圆相切的判定及应用

初中教科书在介绍圆和圆的位置关系时，给出了两圆相切的判定方法，即：设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，若d—R＋r，则两圆外切；若d=R—r（R〉r），则两圆内切．本文不妨统称为“圆心距法”．下面介绍另一种判定方法，这里统称为“公切线法”．

探究与三角形有关的直线上点的性质

探究一 如图1，在△ABC中，D是BC的中点，M在CD上，AD、AM为∠BAC的等角线，P是直线AM上一点（P不与A、M重合），BP、CP分别交直线AC、AB于点E、F，直线EF交BC的延长线于点N，则AN是△ABC的外接圆切线．

对边等比的圆内接四边形的若干性质

两组对边的比值相等的圆内接四边形，有一系列有趣的结论，本文介绍其中一、二，以飨读者． 性质1 如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，