赏析锐角三角形外心的几条性质

性质1[1]如图1,O是锐角△ABC的外心,AO、BO、CO分别交BC、CA、AB于点D、E、F,EF、FD、DE分别交AO、BO、CO于点D′、E′、F′,则1/OD-1/OD′=1/OE-1/OE′=1/OF-1/OF′.

三角形中线上特殊点的性质

性质1 如图1，△ABC中，D是BC的中点，直线AD交△ABC的外接圆于点M。点E、F在直线AD上，且∠BEA=∠ABC,∠CFA=∠ACB,则DE-DF=2DM.证明∵∠BEA=∠ABC,显然AB是△BED的外接圆切线，∴ AB^2=AD·AE=AD（AD＋DE）=AD^2＋AD·DE,①同理AC^2=AD^2-AD·DF,②由①＋②，得 AB^2＋AC^2=2AD^2＋AD（DE-DF）,③∵D是BC的中点，∴由中线定理得AB^2＋AC^2=2AD^2＋ABD^2,代入③得2BD^2=AD（DE-DF）,④而BD·DC=AD·DM,即BD^2=AD·DM,⑤由④、⑤得DE-DEF=2DM.

圆内接四边形中相等的四条西摩松线

如图1,P是△ABC外接圆上一点,过点P向△ABC三边或其延长线作垂线,D、E、F为垂足,则D、E、F三点在同一条直线上.这就是著名的西摩松(simson)定理,此线称为西摩松线,我们称线段EF为△ABC关于P点的西摩松线段,由此得到如下定理.