删繁就简,去芜存菁——对一个直线过定点问题的探究

1问题的提出,命题1如图1,在线段AB内选一点M,分别以AM和BM为一边在AB的同侧作正方形AMCD和MBEF.⊙P和⊙Q是这两个正方形的外接圆,它们交于点M和N.求证:不论点M怎样选取,直线MN恒过定点.文献[1]中尚、梁两位同学对上面这道几何题作了拓展,发现:(1)如图2(a),当M在线段AB反向延长线上且正方形AMCD和MBEF在直线AB异侧时,直线MN仍过定点.