对2010年高考数学陕西卷理科第20题的思考

从2010年高考数学陕西卷理科第20题出发，研究过原点的直线n与椭圆垂直于n的弦AB满足一定关系时．∠AOB及r应具有的特征，进一步研究由给定的椭圆能否构造出相应的圆，使该圆的切线恰为椭圆的上述弦AB，最后再研究OA、OB及弦AB的长度关系，范围等．经过数学演绎推理，借助向量知识最终得到椭圆的三条性质，并用三个例题给出这些性质的应用．

一道解几题的“小题大作”

题目已知⊙C的方程为（x-3）2+y2=4,过⊙C上一点P1（1,0）作⊙C的任意弦交⊙C于另一点P2,求弦P1P2的中点M的轨迹方程. 这是一道求动弦中点轨迹题,题目虽小.但若'大作',则有以小见大的功效.

一题四解 各具特色

题目若3x^2-xy+3y^2=20,则8x^2+ 23y^2最大值是___.(第13届(02年)"希望杯"高二培训)分析1如果题中有类似x^2+y^2=r^2形式,可令{x=rcosα,进行三角换元.记t=8x^2 y=rsinα+23y^2,则可用三角换元.解法1记t=8x^2+23y^2。

应用垂面求线面角

求斜线与平面所成的角，关键是过斜线上一点作平面的垂线．而这条垂线往往是由两个平面垂直的性质定理提供的．这样我们作线面角时，可先找证或作一个平面垂直于已知平面，然后在垂面内过垂面和斜线的交点作两个垂面的交线的垂线，再把垂足和斜足连结起来，线面角就作出来了．下面举例说明．

一道指数式比较大小的多种解法

题目 比较2^33与3^22的大小． 这是一道底数和指数都不相同的指数式比较大小问题．本文对这道题的解法进行了多角度多方位探讨研究，探究出了这道题的多种解法，揭示了这类题的解题策略和方法，供参考．

它们,也可从解析几何去想(高一、高二、高三)

本文举了三个例子:代数2个,三角1个.说明可从解析几何入手.好象事出意外,却体现了数学的内在和谐之美.

例说直线和线段相交问题的解法

方程含参数的直线和线段相交问题是解析几何中一类比较典型的直线问题，一般教辅资料只介绍了这类题的数形结合法．本文再介绍这类题的解方程组法、定比分点法和平面区域法．下面举例说明．

条件方程中的参数范围

确定有限制条件的方程F(x,a)=0中参数a的范围,这类题目综合性强,难度较大,下面从五个方面给出其求解策略． 1．等价变形,转化为不等式将方程F(x,a)=0作等价变形为x= f(a),利用x的限制条件得出含a的不等式,将问题转化为解不等式．

公式W＝Fs中s物理意义的再思考

在一些教辅资料、杂志中经常看到，有人把公式W=Fs中s的物理意义解释为力的作用点的位移．其实，在历次全国发行的教科书中都把s解释为物体在力的方向上发生的位移．为什么对s会有不同的解释呢？大致有以下原因：1．变形物体与刚体相混淆．2．可看成质点的物体与不能看成质点的物体相混淆．3．力对物体做功与物体对物体做功相混淆．

课堂教学优化过程探究

当前教学改革正从应试教育向素质教育转轨，如何提高课堂效率，成为人们的共同追求。

一道线面角问题的三种向量解法

题目在正△ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点,满足AE:EB=CF:FA =CP:PB=1:2（如图1）.将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置,使二面角A1—EF—B成直二面角,连结A1B、A1 P（如图2）,求直线A1E与平面A1BP所成角的大小.

抛物线定义的“变脸”

我们知道抛物线的定义是＂平面内到定点F和定直线l（其中Fl）距离相等的动点的轨迹＂,在这个定义中动点满足的条件常常会做一些＂变脸＂,这就需要我们对题设条件认真分析,通过数形结合,

三角问题的解析法

我们知道，如果单位圆x^2＋y^2=1与任意角α终边交于点P（x，y），则有正弦、余弦的定义sinα=y，cosα=x，这样我们遇到三角问题时，可考虑用这个定义把三角问题转化为单位圆上点P（x，y）的坐标问题，用解析几何知识给予解答，请看以下三例．

在运动变化中探求直线与平面的关系

立体几何中的线线之间,线面之间或面面之间,是否存在某种关系？有时我们用性质定理难以回答,这时我们可在运动变化中求解它们之间的关系,分析运动起始位置时它们的关系,推理出运动过程中某种关系的存在性,请看三例.例1异面直线a,b夹角为50°,过空间一点P的直线l与a。

如何发现数列的周期性

如果题目中给出数列递推公式（相邻项之间的等式），要求出某一项，又不可能逐个去求出该项的前面各项时，这就预示该数列是周期数列，我们可以先求出数列的周期，求出一个周期内的各项，便可求出数列的任何一项．那么如何发现是周期数列呢？下面作一些总结．

错解剖析

某教辅资料上有这样一道例题及解法:例题已知直线(a-2)y=(3a-1)x-1.(1)证明:无论a为何实数,直线总过第一象限;(2)若直线不过第二象限,求a的取值范围.原解法(1)直线方程化为(3x-y)a-(x -2y+1)=0.

向量平行定理的应用

课本中关于向量平行，概况起来可叙述为定理：a是一个非零向量，若存在实数λ便方b=λa a//b,当引进向量坐标后，这个定理变为：